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几何原理
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1、内容：
如何将空间点投影至一个给定平面
2、环境：
open3d
2、转载请注明出处：
https://blog.csdn.net/qq_41102371/article/details/121482108

几何原理

空间点云投影到一个平面的问题，实际上就是一个点到平面的投影点问题
平面的一般方程为
Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0
其法向量为
n⃗=(A,B,C)\vec{n}=(A,B,C)n=(A,B,C)
现已知平面α:(A,B,C,D)\alpha:(A,B,C,D)α:(A,B,C,D)以及平面外的一点P0(x0,y0,z0)P_0\ (x_0,y_0,z_0)P0 (x0,y0,z0)，求P0P_0P0到平面的投影点坐标

(图片来自同济高数第七版下册P29)
过P0P_0P0作垂线NP0NP_0NP0垂直于平面α\alphaα，N(x,y,z)N(x,y,z)N(x,y,z)即为P0P_0P0在α\alphaα上的投影点，P1P_1P1是平面上的任意一点。
∵NP0→⊥α\because \overrightarrow{NP_0} \perp \alpha∵NP0⊥α
∴NP0→∥n⃗\therefore \overrightarrow{NP_0} \parallel \vec{n}∴NP0∥n
根据直线的点向式方程：
x0−xA=y0−yB=z0−zC=t\frac{x_0-x}{A}=\frac{y_0-y}{B}=\frac{z_0-z}{C}=tAx0−x=By0−y=Cz0−z=t
则可以得到直线NP0NP_0NP0的参数方程：
{x=x0−Aty=y0−Btz=z0−Ct\begin{cases} x=x_0-At\\ y=y_0-Bt\\ z=z_0-Ct \end{cases} ⎩⎨⎧x=x0−Aty=y0−Btz=z0−Ct
因为点N(x,y,z)N(x,y,z)N(x,y,z)在平面α\alphaα上，因此：
Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0
A(x0−At)+B(y0−Bt)+C(z0−Ct)+D=0A(x_0-At)+B(y_0-Bt)+C(z_0-Ct)+D=0A(x0−At)+B(y0−Bt)+C(z0−Ct)+D=0
∴\therefore∴ t=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2t=\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}t=A2+B2+C2Ax0+By0+Cz0+D
将t带入NP0NP_0NP0的参数方程：
x=x0−AAx0+By0+Cz0+DA2+B2+C2y=y0−BAx0+By0+Cz0+DA2+B2+C2z=z0−CAx0+By0+Cz0+DA2+B2+C2\begin{aligned} x & =& x_0-A\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}\\\\ y & =& y_0-B\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}\\\\ z & = & z_0-C\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2} \end{aligned}xyz===x0−AA2+B2+C2Ax0+By0+Cz0+Dy0−BA2+B2+C2Ax0+By0+Cz0+Dz0−CA2+B2+C2Ax0+By0+Cz0+D

右侧完全已知，因此，只要知道任意空间点P0P_0P0的坐标以及给定平面α\alphaα，就能计算出P0P_0P0在α\alphaα上的投影点坐标N(x,y,z)N(x,y,z)N(x,y,z)

python代码

def project_points2plane(src_npy, tgt_plane_coefficients):"""Args:src_npy: numpy form of a point cloudtgt_plane_coefficients: a given plane to projectReturns:numpy form of points that projected to the given plane: n x 3# @Author  : Carlos_Lee# @Blog    ：https://blog.csdn.net/qq_41102371/article/details/121482108# References:# https://www.cnblogs.com/nobodyzhou/p/6145030.html# https://en.wikipedia.org/wiki/Distance_from_a_point_to_a_plane"""project_plane = copy.deepcopy(src_npy)a, b, c, d = tgt_plane_coefficientsx_i = project_plane[:, 0]y_i = project_plane[:, 1]z_i = project_plane[:, 2]t = (a * x_i + b * y_i + c * z_i) / (a * a + b * b + c * c)project_plane[:, 0] = x_i - a * tproject_plane[:, 1] = y_i - b * tproject_plane[:, 2] = z_i - c * t'''if we project a group of points to a plane, some points will be projected to a same point on the plane, resulting in duplicate points,we need to remove them'''# to remove the repeat pointsproject_plane = np.unique(project_plane, axis=0)return project_plane

完整测试代码在GitHub：
https://github.com/Noel-Gallagher-Highflyingbirds/geometry

References

计算点在平面上的投影坐标: https://www.cnblogs.com/nobodyzhou/p/6145030.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Distance_from_a_point_to_a_plane
高等数学（第七版）（下册）．高等教育出版社
https://zhuanlan.zhihu.com/p/267722955

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