【Gym - 102174J】金色传说（观察性质+计数dp）

题意

求⻓度为 nnn 的所有表达式值的和。表达式由数字和′+′'+'′+′，′−′'-'′−′组成，表达式的第⼀位必须是数字，数字可以有前导 0 。

n≤5×105n\le 5\times 10^5n≤5×105

题解

因为符号加减可以相互抵消，所以，得到一个表达式后，只需要计算第一个符号之前的数值的和。

对于长度为nnn的表达式，我们只需要枚举第一个运算符的位置，统计答案即可。

设g[i]g[i]g[i]表示长度为iii的数字的和，则：
g[i]=(10i−1)×10n−1×5g[i]=(10^i-1)\times 10^{n-1}\times 5 g[i]=(10i−1)×10n−1×5
设f[i][0/1]f[i][0/1]f[i][0/1]表示长度为iii的表达式，第iii位是数字或符号的表达式个数，则：
f[i][0]=(f[i−1][0]+f[i−1][1])×10f[i][0] = (f[i-1][0] + f[i-1][1]) \times 10 f[i][0]=(f[i−1][0]+f[i−1][1])×10

f[i][1]=f[i][0]×2f[i][1] = f[i][0] \times 2 f[i][1]=f[i][0]×2

综上，最终答案可以表示为：
ansn=∑i=1n−2g[i]×f[n−i][1]ans_n=\sum_{i=1}^{n-2}g[i]\times f[n-i][1] ansn=i=1∑n−2g[i]×f[n−i][1]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;const int maxn = 500010;
const int mod = 998244353;ll g[maxn], p[maxn], f[maxn][2];
int n;int main() {f[1][0] = 10, f[1][1] = 0;g[1] = 45;p[1] = 10;for(int i = 2; i <= 500000; i ++){f[i][0] = (f[i-1][0] + f[i-1][1]) * 10 % mod;f[i][1] = f[i-1][0] * 2 % mod;p[i] = p[i - 1] * 10 % mod;g[i] = (p[i] - 1) * p[i-1] % mod * 5 % mod;}int T;cin >> T;while (T--) {cin >> n;ll res = 0;for(int i = 1; i <= n - 2; i ++)res = (res + g[i] * f[n-i][1]) % mod;res = (res + g[n]) % mod;printf("%d\n", (res + mod) % mod);}return 0;
}

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