4. 连续时间鞅（REN）

前情提要

闭区间上的鞅（终端值必然存在）

鞅的定义

鞅与停时（Doob停止定理）

下鞅极值的终值控制不等式（Doob极大值不等式）

左闭右开区间的鞅（终端值未必存在）

鞅的收敛定理（LpL^pLp条件、L1L^1L1条件下终值的存在性）

简单过程的随机积分（鞅变换）

二次变差过程、交互变差过程

局部鞅（二次变差、成为鞅的条件、收敛性）

半鞅（定义及二次变差）

1. 闭区间上的鞅（终端值必然存在）

根据离散时间鞅终端值存在与否对于鞅收敛定理的重要性（参见上节注释：如下）

注释：由6.1节可得sup⁡nE[∣ξn∣]<∞\sup _{n} E\left[\left|\xi_{n}\right|\right]<\inftysupnE[∣ξn∣]<∞, 永远会存在一个 ξ∞\xi_{\infty}ξ∞ 使得 ξn→ξ∞\xi_{n} \rightarrow \xi_{\infty}ξn→ξ∞ a.s… 但与此同时有没有 ∥ξn−ξ∞∥1→0\left\|\xi_{n}-\xi_{\infty}\right\|_{1} \rightarrow 0∥ξn−ξ∞∥1→0 则要看 ξ∞\xi_{\infty}ξ∞ 是否是该鞅的终端值, 而这又要看它是否一致可积.

有无终端最本质区别在于闭区间[0,1]上的鞅很自然有一个终端值X1X_{1}X1, 且有
Xt=E[X1∣Ft],∀t∈[0,1]X_{t}=E\left[X_{1} \mid \mathscr{F}_{t}\right], \quad \forall t \in[0,1] Xt=E[X1∣Ft],∀t∈[0,1]
而开区间上的鞅没有终端不一定有这个性质，如果随机过程趋于终端有有限的极限，那么理解为有终端值（取为极限值），那就有这个性质。因此这需要对开区间上的鞅进行讨论，看看在什么条件下存在终端值。当然了，如果定义了一个开区间上的鞅，我们没有判定这个条件之前是不可以随便把闭区间上的结果用上去的，这个要注意！！！！比如下鞅极值的终值控制不等式

因此，将连续时间鞅按照闭区间上的鞅与左闭右开区间的鞅分开进行讨论。

闭区间上的鞅终端可以取到，终端的值必然存在，对应有限时间离散鞅以及无穷项但终值存在的离散鞅。

1.1 鞅的定义

鞅的定义：实值可积、适应、鞅性
定理：下鞅生成定理
例子

1.2. 鞅与停时（Doob停止定理）

鞅的离散停时序列是鞅
鞅有关停时的等价命题
鞅的停止过程是鞅

1.3. 下鞅极值的终值控制不等式（Doob极大值不等式）

Kolmogorov-Doob不等式
Doob极大值不等式

2. 左闭右开区间的鞅（终端值未必存在）

终端值存在的含义可以理解为趋于终端有有限的极限。左闭右开区间的鞅终值取不到，终端值存在性未知，对应无穷项的离散鞅。

讨论一下鞅满足什么条件下，终端值存在。

对定义在 [0,1)[0,1)[0,1) 上的下鞅 XXX, 定义
D(X,[a,b])=sup⁡{D(X,F,[a,b]):F⊂[0,1),F有限 },D(X,[a, b])=\sup \{D(X, F,[a, b]): F \subset[0,1), F \text { 有限 }\}, D(X,[a,b])=sup{D(X,F,[a,b]):F⊂[0,1),F 有限 },
其中 D(X,F,[a,b])D(X, F,[a, b])D(X,F,[a,b]) 为将 XXX 限制在时间参数集 FFF 上时对 [a,b][a, b][a,b] 的上穿数, 则利用已证的离散时间鞅的上穿不等式可证

定理4.3.2没有证明极限可积，那么无法将该值设定为终端值。下面讨论极限可积性与[0,t)随机过程的可积性间的关系。

以下对Lp,p>1L^p,p>1Lp,p>1和L1L^1L1分开讨论。

引理：supt∈[0,1)E[∣Xt∣p]<∞,p>1sup_{t\in [0,1)}E[|X_t|^p]<\infty,p>1supt∈[0,1)E[∣Xt∣p]<∞,p>1，可得极限可积，即鞅有终端值
引理：终端值X1∈L1X_1\in L^1X1∈L1,可得鞅在L1L^1L1中有界；鞅在L1L^1L1中有界，极限在L1L^1L1中不一定成立。

因此，如果不知道鞅是否是一致可积的情况下，不要随便用闭区间上的结果。

3. 简单过程的随机积分（鞅变换）

ppp方可积连续鞅
简单过程随机积分的性质

简单过程是有穷级数【随机积分的二阶矩】
简单过程是无穷级数【随机积分的收敛性】

4. 平方变差过程

4.1 平方变差过程

平方变差过程的性质【M2−[M]M^2-[M]M2−[M]是鞅】

上定理中的 [M][M][M] 称为 MMM 的平方变差过程. 这个命名的缘由可以从定理的证明看出来, 因为 [M][M][M] 是离散平方变差 AnA_{n}An（见离散时间鞅的平方变差表达式）的极限.
正如曾经指出过的, 离散时间时两个不同的平方变差的差别, 即普通平方变差与可料平方变差的差别在这里消失了（见Doob分解定理，可料增过程与普通增过程）, 两者合二为一了，否则不可能有唯一性.

鞅停止过程的二次变差=鞅二次变差的停止过程

证明：设 τ\tauτ 为停时. 因为 M2−[M]M^{2}-[M]M2−[M] 为鞅, 故由Doob停止定理, (Mτ)2−[M]τ\left(M^{\tau}\right)^{2}-[M]^{\tau}(Mτ)2−[M]τ 也为鞅, 于是由Doob分解的唯一性可得。

4.2 交互变差过程

交互变差的定义
交互变差的性质【MN−[M,N]MN-[M,N]MN−[M,N]是鞅】
相互独立的鞅，交互变差为0（相互独立的随机变量，相关系数为0）

5. 局部鞅

局部鞅的定义

5.1 局部鞅的二次变差

选择局部化停时列，将其局部化为ppp方可积鞅，可得

5.2 局部鞅→\rightarrow→鞅

由于局部鞅的定义中没有要求随机变量 MtM_{t}Mt 可积, 所以谈 MtM_{t}Mt 的条件期望是没有意义的.
分析：要使局部鞅成为鞅, 就必须在
E[Mt∧σn∣Fs]=Ms∧σnE\left[M_{t \wedge \sigma_{n}} \mid \mathscr{F}_{s}\right]=M_{s \wedge \sigma_{n}} E[Mt∧σn∣Fs]=Ms∧σn
的两边取极限 n→∞n \rightarrow \inftyn→∞. 左边涉及到极限和条件期望交换的问题. (Mt∧σn)\left(M_{t \wedge \sigma_{n}}\right)(Mt∧σn)一致可积时可以进行这种交换, 因为这时有
∥E[Mt∣Fs]−E[Mt∧σn∣Fs∥1≤∥Mt−Mt∧σn∥1→0,n→∞\| E\left[M_{t} \mid \mathscr{F}_{s}\right]-E\left[M_{t \wedge \sigma_{n}} \mid \mathscr{F}_{s}\left\|_{1} \leq\right\| M_{t}-M_{t \wedge \sigma_{n}} \|_{1} \rightarrow 0, n \rightarrow \infty\right. ∥E[Mt∣Fs]−E[Mt∧σn∣Fs∥1≤∥Mt−Mt∧σn∥1→0,n→∞
但很难知道(Mt∧σn)\left(M_{t \wedge \sigma_{n}}\right)(Mt∧σn)什么时候是一致可积的，能想到的足以保证能够交换次序的基本上就只有控制收敛定理了

局部鞅变成鞅的条件（控制收敛定理的推论）

5.3 局部鞅的收敛性

下鞅是下降的
局部鞅的收敛性

6. 半鞅（定义及二次变差）

下鞅是鞅与可料增过程之和，有界变差过程是增过程与降过程之和，则由此

半鞅的定义

半鞅也是上鞅和下鞅之和，这个分解不唯一
半鞅的二次变差