5. 连续时间马氏过程-强Markov族

上回主要介绍了有关马氏过程的两个部分内容，即

连续时间的马氏过程的定义及其等价命题；
构造从一个单点出发的Markov过程的两种方法，即「活动概率空间」和「Markov族」

1. 扩展Markov性

令
Ft+:=∪u>tFu\mathscr{F}_{t+}:=\cup_{u>t} \mathscr{F}_{u} Ft+:=∪u>tFu定理5.4.1. (ξ(t,x),Ft+)\left(\xi(t, x), \mathscr{F}_{t+}\right)(ξ(t,x),Ft+) 是 Markovit程.
由于这个狜果, 我们可以在此郑重申明: 班后在碰到Markov过程时, 自动认
或问了: 既然如此, 为什么在Markov性的定义中不直接嫮求 (Ft)\left(\mathscr{F}_{\mathrm{t}}\right)(Ft) 右连续昍?
一定要这样㕷也是可以的, 但如果真这样敳了的话, 往往使事祷变得更复杂, 因为除非极其特别的情识, 原始的 σ−\sigma-σ− 代数流 (比如一个过程自己生成的 σ−\sigma-σ− 代数流)并不是自动右连续的, 䣕怕这个过程的轨道是右连续的, 基至是连续的一一我们看到过, Brown迄动的情况蚘是如此. 而在定义中要求少一些, 现在又在了一个放之四海而皆淮的定理, 늘不是可以省很名事时?

证明. 我们要证明对任意 A∈FtA \in \mathscr{F}_{t}A∈Ft, 任意 s>0s>0s>0, 任意有界 B−\mathscr{B}-B− 可测 fff,
E[1Af(ξ(s+t,x))]=E[∫Ef(y)P(s,ξ(t,x),dy)1A].E\left[1_{A} f(\xi(s+t, x))\right]=E\left[\int_{E} f(y) P(s, \xi(t, x), d y) 1_{A}\right] . E[1Af(ξ(s+t,x))]=E[∫Ef(y)P(s,ξ(t,x),dy)1A].
任给 ε>0\varepsilon>0ε>0, 因为 A∈Ft+cA \in \mathscr{F}_{t+c}A∈Ft+c, 所以由Markov性
E[1Af(ξ(s+t+ε,x))]=E[∫Ef(y)P(s,ξ(t+ε,x),dy)1A]E\left[1_{A} f(\xi(s+t+\varepsilon, x))\right]=E\left[\int_{E} f(y) P(s, \xi(t+\varepsilon, x), d y) 1_{A}\right] E[1Af(ξ(s+t+ε,x))]=E[∫Ef(y)P(s,ξ(t+ε,x),dy)1A]
E[1Af(ξ(s+t,x))]=E[∫Ef(y)P(s,ξ(t,x),dy)1A]E\left[1_{A} f(\xi(s+t, x))\right]=E\left[\int_{E} f(y) P(s, \xi(t, x), d y) 1_{A}\right] E[1Af(ξ(s+t,x))]=E[∫Ef(y)P(s,ξ(t,x),dy)1A]
对 B∈EB \in EB∈E, 令
μ(B)=E[1A1B(ξ(s+t,x))]μ′(B)=E[∫E1B(y)P(s,ξ(t,x),dy)1A]\begin{gathered} \mu(B)=E\left[1_{A} 1_{B}(\xi(s+t, x))\right] \\ \mu^{\prime}(B)=E\left[\int_{E} 1_{B}(y) P(s, \xi(t, x), d y) 1_{A}\right] \end{gathered} μ(B)=E[1A1B(ξ(s+t,x))]μ′(B)=E[∫E1B(y)P(s,ξ(t,x),dy)1A]
则 (4.7) 说明, 对任意有界连续函数 fff,
∫Efdμ=∫Efdμ′.\int_{E} f d \mu=\int_{E} f d \mu^{\prime} . ∫Efdμ=∫Efdμ′.
所以 μ=μ′\mu=\mu^{\prime}μ=μ′. 于是由下面的引理, (4.7)(4.7)(4.7) 对一般的有界可则函数 fff 成立.

引理5.4.2. 设 μ\muμ 与 μ′\mu^{\prime}μ′ 是 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \cjkstart at position 48: … . ~ 若対任堂有 \̲c̲j̲k̲s̲t̲a̲r̲t̲ ̲⿱}
∫Ef(x)μ(dx)=∫Ef(x)μ′(dx),\int_{E} f(x) \mu(d x)=\int_{E} f(x) \mu^{\prime}(d x), ∫Ef(x)μ(dx)=∫Ef(x)μ′(dx),
则 μ≡μ′\mu \equiv \mu^{\prime}μ≡μ′.推论5.4.3. (Blumenthal 0−10-10−1 律) 设 A∈F0+X2,F0A \in \mathscr{F}_{0+}^{X_{2}}, \mathscr{F}_{0}A∈F0+X2,F0 为平凡 σ\sigmaσ - 代啈. 则
P(A)=0戎 1.P(A)=0 \text { 戎 } 1 . P(A)=0 戎 1.
证明. 因为
1A=E[1A∣F0+]=E[1A∣F0]=E[1A]=P(A)1_{A}=E\left[1_{A} \mid \mathscr{F}_{0+}\right]=E\left[1_{A} \mid \mathscr{F}_{0}\right]=E\left[1_{A}\right]=P(A) 1A=E[1A∣F0+]=E[1A∣F0]=E[1A]=P(A)
所以 P(A)=0P(A)=0P(A)=0 或 1.1 .1.
这个推论的好玩之处在于, 由它可以推出诸如
{lim sup⁡t<0ξ(t)−xf(t)>a}\left\{\limsup _{t<0} \frac{\xi(t)-x}{f(t)}>a\right\} {t<0limsupf(t)ξ(t)−x>a}
之类的事件发生的概率非零即一, 其中 fff 为适应过程. 由于这个事件不属于 F0\mathscr{F}_{0}F0, 因此谅你不敢吹牛说这是显然的.

2. 强Markov族

璜测, 基于到现在为止所有信息的判断(即在 Fs\mathscr{F}_{s}Fs 下的条件期望), 与只

这里 “现在” 是某个确定的时刻, 对每条轨道都是一样的. 但在很多问题中不同的轨道却有不同的 “现在”, 例如如果将轨道到达某一点或某一集合的时间视为 “现在” 的话 (在推导Brown运动的极大值的分布的时候就是如此, 一旦过了这个 “现在”, 就需要对轨道进行翻转即作镜面反射), 那这个 “现在” 当然会依赖于轨道, 即是随机的. 那么, 现在问: 对随机的 “现在”, 还有Markov性吗?
本节就是要证明对于我们所讨论的连续过程, 如果这个 “现在” 是停时的话, 那么Markov性依然保持. 这就是所谓的强Markov性. 实际上, 沿用上节的记号, 我们可以证明:
定理5.4.4. 设 fff 是有界可测函数, τ\tauτ 为停时, η∈Fτ\eta \in \mathscr{F}_{\tau}η∈Fτ 为非负随机变量. 则
E[f(ξ(τ+η),x)1τ+η<∞∣Fτ]={1τ+η<∞E[f(ξ(s,y))]}s=η,y=ξ(τ,x).E\left[f(\xi(\tau+\eta), x) 1_{\tau+\eta<\infty} \mid \mathscr{F}_{\tau}\right]=\left\{1_{\tau+\eta<\infty} E[f(\xi(s, y))]\right\}_{s=\eta, y=\xi(\tau, x)} . E[f(ξ(τ+η),x)1τ+η<∞∣Fτ]={1τ+η<∞E[f(ξ(s,y))]}s=η,y=ξ(τ,x).
特别地, 若 τ+η<∞\tau+\eta<\inftyτ+η<∞ a.s., 则
E[f(ξ(τ+η),x)∣Fτ]=E[f(ξ(s,y))]∣s=η,y=ξ(τ,x).E\left[f(\xi(\tau+\eta), x) \mid \mathscr{F}_{\tau}\right]=\left.E[f(\xi(s, y))]\right|_{s=\eta, y=\xi(\tau, x)} . E[f(ξ(τ+η),x)∣Fτ]=E[f(ξ(s,y))]∣s=η,y=ξ(τ,x).基于现在的信息(即在 ξ(s,x)\xi(s, x)ξ(s,x) 下的条件期望)是一致的. 也䛨是说, 知道了现在, 过去和将来是独立的.