M斐波那契数列

Time Limit: 3000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65535/32768 K (Java/Others)

Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

Sample Input

0 1 0 6 10 2

Sample Output

0 60

分析：用普通方法提交了一次，果断超时。

写出F(2)、F(3)、F(4)、F(5)…会发现a和b的指数是fib数，如果求出fib数列，用快速幂就可以快速求出最后答案。问题转化为了如何快速求解fib数列。

因为【F(n-2)，F(n-1)】*【0,1,1,1】 = 【F(n-1),F(n)】，所以可以用矩阵乘法来求。

每次相乘的矩阵为

0 1

1 1

为了防止求F(n)时溢出，要对矩阵元素取模，即 a[i][j] %= 1000000006。模数之所以为1000000006是因为根据费马小定理可得A^euler(M) = 1 （mod M）,其中M为素数。

所以A^N = A^（N % euler(M)）（mod M），而1000000007为素数，euler（1000000007）= 1000000006，所以模数是1000000006。

求出F(n-1)和F(n)以后，用二分快速幂求出pow（a，F(n-1)）* pow（b，F(n)）% 1000000007 就是最后的答案。

#include<stdio.h>
#define mod 1000000007
typedef __int64 LL;
struct Matrix
{LL mat[2][2];
};Matrix unit_matrix =
{1, 0,0, 1
}; //单位矩阵Matrix mul(Matrix a, Matrix b) //矩阵相乘
{Matrix res;for(int i = 0; i < 2; i++)for(int j = 0; j < 2; j++){res.mat[i][j] = 0;for(int k = 0; k < 2; k++){res.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];res.mat[i][j] %= 1000000006;}}return res;
}Matrix pow_matrix(Matrix a, LL n)  //矩阵快速幂
{Matrix res = unit_matrix;while(n != 0){if(n & 1)res = mul(res, a);a = mul(a, a);n >>= 1;}return res;
}LL pow(LL a, LL n) //二分快速幂
{a %= mod;LL res = 1;while(n != 0){if(n & 1)res = res * a % mod;a = a * a % mod;n >>= 1;}return res;
}int main()
{LL a, b, n;Matrix tmp;tmp.mat[0][0] = 0;tmp.mat[0][1] = tmp.mat[1][0] = tmp.mat[1][1] = 1;while(~scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&n)){Matrix p = pow_matrix(tmp, n); //p.mat[0][0]即为F(n-1)，p.mat[1][0]即为F(n)LL ans = (pow(a, p.mat[0][0]) * pow(b, p.mat[1][0])) % mod;printf("%I64d\n",ans);}return 0;
}

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