算法很美——数学问题

题1：天平称重
问题描述：
用天平称重时，我们希望用尽可能少的砝码组合称出尽可能多的重量。
砝码重量分别是1，3，9，27，81……3的指数次幂，每种重量砝码只有一个
则它们可以组合称出任意整数重量（砝码允许放在左右两个盘中）。
本题目要求编程实现：对用户给定的重量，给出砝码组合方案。
例如：
用户输入：
5
程序输出：
9-3-1
用户输入：
19
程序输出：
27-9+1
要求程序输出的组合总是大数在前小数在后。
可以假设用户的输入的数字符合范围1~1000000
思路：3的指数次幂——可以想到用3进制，将输入转为三进制，按位输出，而二进制中可能出现2，但同一重量砝码只有一个，考虑加一减一，如下
19的三进制表示：
2 0 1：二位加一变成：1 0 0 1
减一变成：1 -1 0 1
这样可以使三进制表示中只有1，0，-1

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k[10],num;
void fun(int a)
{num=0;int flag=0;while(a){if(a%3==2){k[num++]=-1;a/=3;a++;}else {k[num++]=a%3;a/=3;}}//printf("num=%d\n",num);//for(int i=num-1;i>=0;i--)printf("%d ",k[i]);printf("\n");for(int i=num-1;i>=0;i--){//printf("i+1=%d pow=%d\n",i+1,pow(3,i+1));if(k[i]<0)printf("-%d",(int)pow(3,i));else if(k[i]==1){if(flag)printf("+%d",(int)pow(3,i));else printf("%d",(int)pow(3,i));}flag=1;}printf("\n");
}
int main()
{int n;while(scanf("%d",&n)!=-1)fun(n);return 0;
}

题2：Nim游戏

Nim游戏特点：
n个部分，任意取，至少一个，轮流，取光为赢，两人均为最优策略
思路：
所有堆进行异或
如果结果为0，则任何取法都将使之变成非零
如果结果不是零，则总有取法使之变成零
所以结果为零，先手输；结果非零，先手赢。

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void fun(int a[],int n)
{int t=a[0];for(int i=1;i<n;i++)t^=a[i];if(t){printf("WIN:1\n");return;}else{printf("WIN:2\n");return;}
}
int main()
{int n;while(scanf("%d",&n)!=-1){int a[n];for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);fun(a,n);}return 0;
}

题3：Georgia ans Bob——Nim的变形

题目描述：
Georgia和Bob在玩游戏。一个无限长的棋盘上有N个旗子，第i个棋子的位置可以用Pi表示。现在Georgia先走。每个人每一次可以把一枚棋子向左移动任意个格子，但是不能超越其他棋子，也不能和其他棋子处在同一个格子里。如果轮到某一个人的时候Ta再也不能移动棋子了，就判负。现在每个测试数据给定一种情况，如果Georgia会赢，输出“Georgia will win”，如果Bob会赢，输出“Bob will win”
思路：
“直到不能移动——间隔为0”，“可以向左移动任意格，不能跨越，至少移动1格”
可以考虑用Nim问题思路解决

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void Nim(int a[],int n)
{int res=a[0];for(int i=1;i<n;i++)res^=a[i];if(res){printf("WIN:1\n");return;}else printf("WIN:2");
}
void fun(int a[],int n)
{int b[n/2+1],j=0;if(n%2==0){for(int i=1;i<n;i+=2)b[j++]=a[i]-a[i-1]-1;}else{for(int i=0;i<n;i+=2)b[j++]=i==0?a[0]:a[i]-a[i-1]-1;}Nim(b,j);
}
int main()
{int n;while(scanf("%d",&n)!=-1){int a[n];for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);sort(a,n);fun(a,n);}return 0;
}

重要求和公式
等差：
平方和、立方和：

等比：

调和级数：=lnn
gcd

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int m,int n)
{return n==0?m:gcd(n,m%n);
}
int main()
{int a,b;while(scanf("%d %d",&a,&b)!=-1)printf("%d\n",gcd(a,b));return 0;
}

题3：
在两点间线段上，有几个点横纵坐标均为整数
gcd(d1,d2)-1个
裴蜀公式（贝祖公式）
素数筛——求第N个素数
求第N个素数的普通算法（看从2到根号N是否有数能将N除尽）——O(N根号N)
为提高效率可使用埃氏筛，依次筛掉2，3，4，5······的倍数，得到一个素数表——O(nlognlogn)
思路：先开空间（数组），再筛倍数
开空间大小？
有素数定理可得，在X范围内，大致有X/logX个素数
例题：求第100002个素数

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
#define N 100002
using namespace std;
void fun()
{long n=2,i=2;while(n/log(n)<N)n++;n+=5;printf("n=%ld\n",n);int arr[n];memset(arr,0,sizeof(arr));while(i<n){if(arr[i]!=0){i++;continue;}int k=2;while(i*k<n){arr[i*k]=-1;k++;}i++;}long num=0;for(int j=2;j<n;j++){if(arr[j]==0)num++;if(num==N){printf("%d\n",j);return;}}printf("num=%ld\n",num);
}
int main()
{fun();return 0;
}

100002超时

快速幂——求n的m次幂
求n的平方的平方的平方···直到大于所求，剩下的幂次递归

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
#define N 100002
using namespace std;
int fun(int n,int m)
{if(m==1)return n;if(m==0)return 1;int ans=n,i=1;while(i*2<=m){ans*=ans;i*=2;}return ans*fun(n,m-i);
}
int main()
{int n,m;while(scanf("%d %d",&n,&m)!=-1)printf("%d\n",fun(n,m));return 0;
}

快速幂方法二：巧算
例：a的10次方
10：（1010）2
所以，a的10次方等于a的2的3次方*a的2的1次方

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
int fun(int m,int n)
{int result=1,pingfangshu=m;if(n==0)return 1;while(n){if((n&1)==1)result*=pingfangshu;pingfangshu*=pingfangshu;n>>=1;}return result;
}
int main()
{int m,n;while(scanf("%d %d",&m,&n)!=-1)printf("%d\n",fun(m,n));return 0;
}

斐波那契数列的另一种求法——类似于幂运算

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