引言

如果在百度搜索圆角矩形的画法，那么多数结果都会告诉你，就是把一个普通矩形的拐角换成相切的 1 4 \frac{1}{4} 41 圆弧，就像 引文1 和 引文2 说的那样。然而，圆角就是圆弧加直线吗？诸君且看下面这张图片，试问哪条曲线更顺滑、圆角更圆润？

毫无疑问是黄线更顺滑一些，蓝线的转角在和直线的连接处（红色箭头）有种折断的感觉。如果我告诉你，蓝线就是 1 4 \frac{1}{4} 41 圆弧和直线连接得到的，你会不会感觉很奇怪：明明连切线都对上了，怎么还会有折断感？

那么，这两条曲线的差别在哪里呢？答：黄线是二阶连续的，而蓝线仅仅是一阶连续。

二阶连续性

为了理解这里“二阶连续”的含义，首先要具备一个基础知识：如何表达和绘制二维平面上的曲线？

相信这篇文章的绝大多数读者都知道函数和函数图像的关系——我们可以使用函数来表达曲线。但是，我们不能用形如 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 这样的函数，因为函数是一个单射，如果使用这样的函数，那么在表达会绕回来的曲线时就会有困难，因为这时横坐标 x x x 对应了两个 y y y 值：

对于一般的情况，我们可以使用 x x x 和 y y y 间的隐函数来表达，引入一个隐变量 t t t 就行了： { x = f x ( t ) y = f y ( t ) \left\{\begin{array}{cc} x = f_x(t) \\ y = f_y(t) \end{array}\right. {x=fx(t)y=fy(t)。如果把 t t t 理解为时间，那么这个方程组实际上就描述了曲线的画法：对应任意的时间点 t t t，方程组给出了要绘制的点 < x , y > \left<x,\ y\right> ⟨x, y⟩。

有了这个基础知识之后，就可以理解“二阶连续”了，这里的“二阶”则是指这 f x f_x fx 和 f y f_y fy 的二阶导，“连续”就是 f x ′ ′ f_x'' fx′′ 和 f y ′ ′ f_y'' fy′′ 连续的意思。那么问题来了：为什么偏偏要“二阶”呢？

二阶连续的物理含义

“二阶”的要求可以追溯到物理意义上。让我们回忆一下，在物理学中，速度是位置关于时间的导数： v ⃗ = d x ⃗ d t \vec{v} = \frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}t} v =dtdx ，加速度是速度关于时间的导数： a ⃗ = d v ⃗ d t \vec{a} = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} a =dtdv ，所以加速度是位置关于时间的二阶导数： a ⃗ = d 2 x ⃗ d t 2 \vec{a} = \frac{\mathrm{d}^2\vec{x}}{{\mathrm{d}t}^2} a =dt2d2x ；物体的加速度不是凭空而来，而是由受力决定： a ⃗ = F ⃗ m \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} a =mF ，加速度与物体的受力情况直接关联。

在这个模型中，由于在任意时刻位置都要满足二阶可导，因此物体的位置和速度都是不能突变的，也就是说，如下的两种运动都是不可能发生的：

而加速度就可以突变了，因为物体的受力可能发生突变，比如两个物体发生了碰撞——事实上，如果不考虑外力，碰撞就是系统内物体加速度突变的充要条件。

现在回到圆角矩形的绘制，让我们想象自己用手抚摸过圆角，这就将曲线的绘制和上面的物理模型联系了起来：

如果曲线不是二阶连续的，那么当手沿着曲线的轨迹运动时，在间断点处二阶导数发生突变，就意味着手就会突然受力，好像撞上了什么东西，因此我们就会感觉到“硌手”。下面这张动图绘制了沿圆弧+直线的轨迹的运动参数变化，可以直观地看到加速度的突变：

设计圆角曲线的函数

有了物理上的运动模型后，我们的思维就不再局限于圆和直线，从而可以重新设计圆角曲线的函数了。我们还是以左上角的圆角为例，目标是设计这样一组函数： { x = f x ( t ) y = f y ( t ) \left\{\begin{array}{l} x = f_x(t) \\ y = f_y(t) \end{array}\right. {x=fx(t)y=fy(t)，使得其满足：

{ f x ( 0 ) = 0 , f y ( 0 ) = 0 ( 起点 ) f x ( 1 ) = 1 , f y ( 1 ) = 1 ( 终点 ) f x ′ ( 0 ) = 0 , f y ′ ( 0 ) = 1 ( 起始速度 ) f x ′ ( 1 ) = 1 , f y ′ ( 1 ) = 0 ( 终末速度 ) f x ′ ′ ( 0 ) = f y ′ ′ ( 0 ) = f x ′ ′ ( 1 ) = f y ′ ′ ( 1 ) = 0 ( 与直线的连接点二阶连续 ) f x ′ ′ , f y ′ ′ ∈ C [ 0 , 1 ] ( 加速度在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续 ) ∀ t ∈ [ 0 , 1 ] { f x ( t ) + f x ( 1 − t ) 2 + f y ( t ) + f y ( 1 − t ) 2 = 1 f y ( 1 − t ) − f y ( t ) = f x ( 1 − t ) − f x ( t ) ( 关于对角线对称 ) \left\{ \begin{aligned} & f_x(0) = 0,\ f_y(0) = 0 & (起点) \\ & f_x(1) = 1,\ f_y(1) = 1 & (终点) \\ & f_x'(0) = 0,\ f_y'(0) = 1 & (起始速度) \\ & f_x'(1) = 1,\ f_y'(1) = 0 & (终末速度) \\ & f_x''(0) = f_y''(0) = f_x''(1) = f_y''(1) = 0 & (与直线的连接点二阶连续) \\ & f_x'',\ f_y'' \in C[0,\ 1] & (加速度在闭区间[0,1]上连续) \\ & \forall t \in [0, 1] \left\{ \begin{aligned} & \frac{f_x(t) + f_x(1-t)}{2} + \frac{f_y(t) + f_y(1-t)}{2} = 1 \\ & f_y(1-t) - f_y(t) = f_x(1-t) - f_x(t) \end{aligned} \right. & (关于对角线对称) \end{aligned} \right. ⎩ ⎨ ⎧fx(0)=0, fy(0)=0fx(1)=1, fy(1)=1fx′(0)=0, fy′(0)=1fx′(1)=1, fy′(1)=0fx′′(0)=fy′′(0)=fx′′(1)=fy′′(1)=0fx′′, fy′′∈C[0, 1]∀t∈[0,1]⎩ ⎨ ⎧2fx(t)+fx(1−t)+2fy(t)+fy(1−t)=1fy(1−t)−fy(t)=fx(1−t)−fx(t)(起点)(终点)(起始速度)(终末速度)(与直线的连接点二阶连续)(加速度在闭区间[0,1]上连续)(关于对角线对称)

满足要求的函数当然不止一条，事实上，我们有很大的设计空间，那么，怎么从中找一条出来呢？

我们从二阶导数，也就是加速度函数入手，在设计出加速度函数后，只需要求解不定积分，就可以轻松满足前四项约束了。为此，我们首先分析上述约束对加速度函数的要求：

速度约束

f x ′ ( 1 ) − f x ′ ( 0 ) = ∫ 0 1 f x ′ ′ ( t ) d t = 1 f y ′ ( 1 ) − f y ′ ( 0 ) = ∫ 0 1 f y ′ ′ ( t ) d t = − 1 f_x'(1) - f_x'(0) = \int_0^1 f_x''(t)\ \mathrm dt = 1\\ f_y'(1) - f_y'(0) = \int_0^1 f_y''(t)\ \mathrm dt = -1 fx′(1)−fx′(0)=∫01fx′′(t) dt=1fy′(1)−fy′(0)=∫01fy′′(t) dt=−1
对称约束

我们希望画出的圆弧是关于拐角的平分线 x + y = 1 x+y=1 x+y=1 对称的，更进一步地，我们不光希望最终轨迹是对称的，最好绘制过程也是关于这条直线对称的，也就是说：

{ f y ( 1 − t ) = 1 − f x ( t ) f x ( 1 − t ) = 1 − f y ( t ) \left\{ \begin{aligned} & f_y(1-t) = 1 - f_x(t) \\ & f_x(1-t) = 1 - f_y(t) \end{aligned} \right. {fy(1−t)=1−fx(t)fx(1−t)=1−fy(t)

上面的两个公式其实说了同一件事： f y ( t ) = 1 − f x ( 1 − t ) f_y(t) = 1 - f_x(1-t) fy(t)=1−fx(1−t)，这意味着我们在设计时只需设计 f x ′ ′ f_x'' fx′′ 即可， f y ′ ′ f_y'' fy′′ 可以直接由此求出来。

现在，问题已经很简单了：设计 f x ′ ′ ( t ) f_x''(t) fx′′(t) 使它在 0 0 0 和 1 1 1 处为 0 0 0，并且在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 上的积分为 1 1 1。

这样的函数还不好找吗？一个最简单的函数就是画个三角形：

也可以用正弦函数，更丝滑：

进一步探讨

匀速约束

如果运动的过程是匀速的，那么就意味着我们在绘制曲线时在相同的长度上花费了相同的时间，如果我们画的是虚线而非实线，那么虚线点之间的距离就是均匀的。另一方面，从性能的角度来看，这也很重要，因为我们只关心绘制的最终结果，而不关心过程，如果不均匀，那么就意味着我们绘制的开销和曲线的直观长度不符，这可能会限制我们绘制很长的曲线。

但其实这是一个伪约束，因为我们总可以通过一个后期处理得到一个均匀化的新解析式。在现实中的直观理解就是，施工队可能花了很多时间找到一条从A到B的路线，然而一旦路修好之后，我们总可以按自己喜欢的速度将这段路走完。在数学上，这就是对原运动过程进行时间上的放缩：

给定轨迹描述函数 { x = f x ( t ) y = f y ( t ) \left\{\begin{array}{cc} x = f_x(t) \\ y = f_y(t) \end{array}\right. {x=fx(t)y=fy(t)，我们总可以通过设计一个时间放缩函数 s s s，使得新轨迹函数 { x = f x ( s ( t ) ) y = f y ( s ( t ) ) \left\{\begin{array}{cc} x = f_x(s(t)) \\ y = f_y(s(t)) \end{array}\right. {x=fx(s(t))y=fy(s(t)) 满足 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = C \sqrt{(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t})^2 +(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})^2 } = C (dtdx)2+(dtdy)2 =C，其中 C C C 为任意设定的速度常数。

要想求出这个 s s s 函数，只需要解一个和原轨迹函数相关的微分方程即可，具体过程就不赘述啦！
高阶连续

从最开始的对比图上，我们可以得知，人眼是能分辨一阶连续和二阶连续的区别的，那么肯定有人就会问了：是不是更高阶的更丝滑？如果是，那么能不能做到在连接点处无穷阶连续，不就达到极致丝滑了吗？

其实设计一个高阶连续的函数并不是什么难事，事实上，我们可以用多项式凑出任意高阶的函数 P ( t ) = ∑ i = 0 N a i t i P(t) = \sum_{i=0}^N a_i t^i P(t)=∑i=0Naiti，假设目标为 k k k 阶连续，则为了求出 f x ′ ′ f_x'' fx′′ 可构建方程组：

{ ∫ 0 1 P ( t ) d t = 1 P ( m ) ( 0 ) = 0 ∀ m ∈ [ 0 , k ] P ( m ) ( 1 ) = 0 ∀ m ∈ [ 0 , k ] \left\{ \begin{aligned} & \int_0^1 P(t) \mathrm{\ d}t = 1 \\ & P^{(m)}(0) = 0 & \forall m \in [0, k] \\ & P^{(m)}(1) = 0 & \forall m \in [0, k] \end{aligned} \right. ⎩ ⎨ ⎧∫01P(t) dt=1P(m)(0)=0P(m)(1)=0∀m∈[0,k]∀m∈[0,k]

由 P ( t ) P(t) P(t) 是 N N N 阶多项式可以得出：
∫ 0 1 P ( t ) d t = ∑ i = 0 N a i i + 1 P m ( t ) = ∑ i = m N ( a i ⋅ i ! ( i − m ) ! ⋅ t i − m ) \int_0^1 P(t) \mathrm{\ d}t = \sum_{i=0}^N \frac{a_i}{i+1} \\ P^m(t) = \sum_{i=m}^N \left( a_i \cdot \frac{i!}{(i-m)!} \cdot t^{i-m} \right) ∫01P(t) dt=i=0∑Ni+1aiPm(t)=i=m∑N(ai⋅(i−m)!i!⋅ti−m)

可见前面的方程组实际上是线性方程组，组中共 2 k + 3 2k+3 2k+3 个方程，因此 P ( t ) P(t) P(t) 必须要至少为 2 k + 2 2k+2 2k+2 阶多项式才能得到实数解。

使用上面的方法，我绘制出了 f x ′ ′ f_x'' fx′′ 0~11阶连续对应的曲线：

除了弧变得越来越小了之外，我个人觉得，这些曲线在连接处的顺滑度上看不出什么区别。这也许说明，经过漫长的自然演化后，人类的肉眼恰好进化到了能识别出有危险的二阶不连续拐角，而对高阶不连续就不敏感了。

现在，我们讨论第二个问题：能不能做到无穷阶连续？答案是不能的，因为如果无穷阶连续，就是在连接点处的无穷阶导数都为零，那么根据泰勒展开式，这条曲线就是 f ( t ) ≡ 0 f(t) \equiv 0 f(t)≡0……，那就不可能拐弯了。也许，从另一方面来说，直线就是极致顺滑的曲线。

总结

本文系统讨论了圆角曲线的绘制方法，不仅给出了其数学解析式，更介绍了解析式的设计方法，最后本文通过绘制更高阶的连续曲线，证明了人类肉眼具备且仅具备区分二阶连续曲线的能力（不过也许有眼力好的人能看出最后一张图片曲线的差别）。本文所介绍的方法不仅适用于绘制 90° 拐角的曲线，稍加修改可以实现在任意两条线的断点处绘制任意阶连续的曲线。

附录

文中所有函数图片的绘制代码（按出现顺序给出）：

# %%
from math import cos, pi, sin, factorial
from timeit import repeat
from tkinter import Yimport matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from matplotlib.animation import FuncAnimationmpl.rcParams["font.family"] = "Microsoft YaHei"# %%
fig, ax = plt.subplots(1, 1, layout="constrained")
fig.suptitle("哪个更圆润？")
fig.set_size_inches(4, 4)
ax.axis("scaled")
ax.set_xlim([-0.5, 2.5]), ax.set_ylim([-1.5, 1.5])def circle(t):if t < 0:return 0, tif t > 1:return t, 1rad = pi / 2 * treturn 1 - cos(rad), sin(rad)def sin_acc(t):if t < 0:return 0, tif t > 1:return t, 1return (2 * (1 / 2 * t - sin(pi * t) / (2 * pi)),2 * (1 / 2 * t + sin(pi * t) / (2 * pi)),)arr_t = np.arange(-0.5, 1.5, 0.01)
arr_x = np.empty_like(arr_t)
arr_y = np.empty_like(arr_t)for i, t in enumerate(arr_t):arr_x[i], arr_y[i] = circle(t)
ax.plot(arr_x, arr_y)for i, t in enumerate(arr_t):arr_x[i], arr_y[i] = sin_acc(t)arr_x[i] += 0.5arr_y[i] -= 0.5
ax.plot(arr_x, arr_y)ax.quiver(-0.2, 0.1, 0.3, 0, color="red")fig.savefig("1.png")# %%
fig, ax = plt.subplots(1, 1, layout="constrained")
fig.suptitle("无法用 $y=f(x)$ 表达的曲线")
fig.set_size_inches(4, 4)
ax.axis("scaled")
ax.set_xlim([-2.5, 0.5]), ax.set_ylim([-1.5, 1.5])arr_t = np.arange(0.5 * pi, 1.5 * pi, 0.01)
arr_x = np.empty_like(arr_t)
arr_y = np.empty_like(arr_t)for i, t in enumerate(arr_t):arr_x[i], arr_y[i] = cos(t) * 2, sin(t)
ax.plot(arr_x, arr_y)
ax.axvline(-1, color="red")ax.text(-0.9, 0, "$f(x)=?$")fig.savefig("2.png")# %%
fig, (ax_l, ax_r) = plt.subplots(1, 2, layout="constrained")
fig.suptitle("不可能发生的两种运动")
fig.set_size_inches(8, 4)ax_l.set_title("位置传送")
ax_l.axis("scaled")
ax_l.set_xlim([-0.5, 2.5]), ax_l.set_ylim([-0.5, 2.5])ax_r.set_title("瞬间变速")
ax_r.axis("scaled")
ax_r.set_xlim([-0.5, 2.5]), ax_r.set_ylim([-0.5, 2.5])dt = 0.05def animate():for t in np.arange(0, 2, dt):lx = 0 if t < 1 else tly = t if t < 1 else 2ax_l.scatter(lx, ly, 3, color="blue")rx = 0 if t < 1 else t - 1ry = tax_r.scatter(rx, ry, 3, color="blue")yieldani = FuncAnimation(fig, lambda x: None, animate, interval=1000 * dt, repeat=True
)
ani.save("3.gif")# %%
fig, axd = plt.subplot_mosaic([["p", "p", "x", "v_x", "a_x"],["p", "p", "y", "v_y", "a_y"],],layout="constrained",
)fig.suptitle("圆弧+直线轨迹的运动过程")
fig.set_size_inches(13, 5)ax_p = axd["p"]
ax_p.set_title(r"$\left<x,\ y\right>$")
ax_p.axis("scaled")
ax_p.set_xlim([-1, 1.5]), ax_p.set_ylim([-1, 1.5])ax_x, ax_y = axd["x"], axd["y"]
ax_vx, ax_vy = axd["v_x"], axd["v_y"]
ax_ax, ax_ay = axd["a_x"], axd["a_y"]for axn in ["x", "y", "v_x", "v_y", "a_x", "a_y"]:ax = axd[axn]ax.set_title(rf"${axn}$")ax.set_xlim([-0.5, 1.5]), ax.set_ylim([-1.5, 1.5])# ax.axis("scaled")dt = 0.05def animate():for t in np.arange(-0.5, 0, dt):x = -0.5y = tax_p.scatter(x, y, 5, color="blue")ax_x.scatter(t, x, 3, color="blue")ax_y.scatter(t, y, 3, color="blue")vx = 0vy = 1ax_vx.scatter(t, vx, 3, color="blue")ax_vy.scatter(t, vy, 3, color="blue")ax = 0ay = 0ax_ax.scatter(t, ax, 3, color="blue")ax_ay.scatter(t, ay, 3, color="blue")yieldfor t in np.arange(0, 1, dt):ang = t * pi / 2x = 0.5 - cos(ang)y = sin(ang)ax_p.scatter(x, y, 5, color="red")ax_x.scatter(t, x, 3, color="red")ax_y.scatter(t, y, 3, color="red")vx = sin(ang)vy = cos(ang)ax_vx.scatter(t, vx, 3, color="red")ax_vy.scatter(t, vy, 3, color="red")ax = cos(ang)ay = -sin(ang)ax_ax.scatter(t, ax, 3, color="red")ax_ay.scatter(t, ay, 3, color="red")yieldfor t in np.arange(1, 1.5, dt):x = t - 0.5y = 1ax_p.scatter(x, y, 5, color="blue")ax_x.scatter(t, x, 3, color="blue")ax_y.scatter(t, y, 3, color="blue")vx = 1vy = 0ax_vx.scatter(t, vx, 3, color="blue")ax_vy.scatter(t, vy, 3, color="blue")ax = 0ay = 0ax_ax.scatter(t, ax, 3, color="blue")ax_ay.scatter(t, ay, 3, color="blue")yieldani = FuncAnimation(fig, lambda x: print(".", end=""), animate, interval=1000 * dt, repeat=True
)
ani.save("4.gif")# %%
fig, axd = plt.subplot_mosaic([["p", "p", "x", "v_x", "a_x"],["p", "p", "y", "v_y", "a_y"],],layout="constrained",
)fig.suptitle("加速度采用线性连续函数")
fig.set_size_inches(13, 5)ax_p = axd["p"]
ax_p.set_title(r"$\left<x,\ y\right>$")
ax_p.axis("scaled")
ax_p.set_xlim([-1, 1.5]), ax_p.set_ylim([-1, 1.5])ax_x, ax_y = axd["x"], axd["y"]
ax_vx, ax_vy = axd["v_x"], axd["v_y"]
ax_ax, ax_ay = axd["a_x"], axd["a_y"]for axn in ["x", "y", "v_x", "v_y", "a_x", "a_y"]:ax = axd[axn]ax.set_title(rf"${axn}$")ax.set_xlim([-0.5, 1.5]), ax.set_ylim([-1.5, 1.5])# ax.axis("scaled")dt = 0.05def animate():for t in np.arange(-0.5, 0, dt):x = -0.5y = tax_p.scatter(x, y, 5, color="blue")ax_x.scatter(t, x, 3, color="blue")ax_y.scatter(t, y, 3, color="blue")vx = 0vy = 1ax_vx.scatter(t, vx, 3, color="blue")ax_vy.scatter(t, vy, 3, color="blue")ax = 0ay = 0ax_ax.scatter(t, ax, 3, color="blue")ax_ay.scatter(t, ay, 3, color="blue")yieldfor t in np.arange(0, 1, dt):ang = t * pi / 2x = 0.5 - cos(ang)y = sin(ang)ax_p.scatter(x, y, 5, color="red")ax_x.scatter(t, x, 3, color="red")ax_y.scatter(t, y, 3, color="red")vx = t**2 if t < 0.5 else 2 * t - 0.5 * (t - 0.5) ** 2vy = 1 - vxax_vx.scatter(t, vx, 3, color="red")ax_vy.scatter(t, vy, 3, color="red")ax = 2 * t if t < 0.5 else 2 - (t - 0.5)ay = -axax_ax.scatter(t, ax, 3, color="red")ax_ay.scatter(t, ay, 3, color="red")yieldfor t in np.arange(1, 1.5, dt):x = t - 0.5y = 1ax_p.scatter(x, y, 5, color="blue")ax_x.scatter(t, x, 3, color="blue")ax_y.scatter(t, y, 3, color="blue")vx = 1vy = 0ax_vx.scatter(t, vx, 3, color="blue")ax_vy.scatter(t, vy, 3, color="blue")ax = 0ay = 0ax_ax.scatter(t, ax, 3, color="blue")ax_ay.scatter(t, ay, 3, color="blue")yieldani = FuncAnimation(fig, lambda x: print(".", end=""), animate, interval=1000 * dt, repeat=True
)
ani.save("5.gif")# %%
def poly_fx_d2(k: int):N = 2 * k + 3  # 2k+2 阶多项式共 2k+3 个待确定系数A = np.ndarray((N, N), dtype=np.float64)# 积分为 1for i in range(N):A[0, i] = 1 / (i + 1)# P(m)(0) = 0for m in range(0, k + 1):row = m + 1A[row, :m] = 0for i in range(m, N):A[row, i] = factorial(i) / factorial(i - m) * 0 ** (i - m)# P(m)(1) = 0for m in range(0, k + 1):row = m + 1 + k + 1A[row, :m] = 0for i in range(m, N):A[row, i] = factorial(i) / factorial(i - m) * 1 ** (i - m)b = np.zeros(N)b[0] = 1# print(A, b)d2_ai = np.linalg.solve(A, b)# fx_d2 = lambda t: d2_ai @ t ** np.arange(len(ai))d1_ai = np.ndarray([len(d2_ai) + 1], dtype=np.float64)d1_ai[0] = 0d1_ai[1:] = d2_ai / np.arange(1, len(d2_ai) + 1, dtype=np.float64)ai = np.ndarray([len(d1_ai) + 1], dtype=np.float64)ai[0] = 0ai[1:] = d1_ai / np.arange(1, len(d1_ai) + 1, dtype=np.float64)return lambda t: ai @ t ** np.arange(len(ai))def plot(ax, k, dx, dy):_fx = poly_fx_d2(k)def f(t):if t < 0:x, y = 0, telif t > 1:x, y = t, 1else:x, y = _fx(t), 1 - _fx(1 - t)return x + dx, y + dyarr_t = np.arange(-0.5, 1.5, 0.01)arr_x = np.empty_like(arr_t)arr_y = np.empty_like(arr_t)for i, t in enumerate(arr_t):arr_x[i], arr_y[i] = f(t)ax.plot(arr_x, arr_y)fig, ax = plt.subplots(1, 1, layout="constrained")
fig.set_size_inches(8, 8)
ax.axis("scaled")
ax.set_xlim([0, 3]), ax.set_ylim([-2, 1])N = 11
dx = dy = 0.0
for k in range(N + 1):dx += 0.2dy -= 0.2plot(ax, k, dx, dy)ax.text(dx, dy + 1, k)fig.suptitle(f"$f_x''$ 0~{N} 阶连续的对比")
fig.savefig("6.png")

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圆角矩形不是圆：圆角的画法和二阶连续性

引言

二阶连续性

二阶连续的物理含义

设计圆角曲线的函数

进一步探讨

总结

附录

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