计算机组成原理 - 定点整数的原码补码运算(待验证)

目录

〇、环境

对象

运算

定点整数原码、定点整数补码

移位、加、减、乘、除

原码定义：

\(x=\begin{cases}

x &0\le x < 2^{n}

\\2^{n}-x &-2^{n} < x \le 0

\end{cases}\)

其中，n为x的位数，最终原码有n+1位。

定义分析：当真值为正时，原码即为真值的二进制形式，但是在二进制最高位添加一个0作为符号位(定义没有体现)。当真值为负时，去掉原码二进制形式的负号，在二进制最高位添加一个1作为符号位。

伸展和收缩：由定义分析可知，x宽度变化时，非符号部分添加或移除高位0(也即整数的二进制形式调整宽度)，符号部分不变。在形式上，无论正负，都是在最高位新增或移除0。

例0-1 求\(11_b\)的8位原码表示

解：为011，扩展到8位为0000 0011。

例0-2 求\(-11_b\)的8位原码表示

解：100-(-11)=111，扩展到8位为0000 0111。

补码定义：

\(x=\begin{cases}

x &0\le x < 2^n

\\2^{n+1}+x &-2^n \le x < 0

\end{cases}\)

其中n为x的位数，最终有n+1位(去掉一定为0的最高位)。

定义分析：当真值为正时，保留真值的二进制形式，并在最高位添加一个0作为符号位。当真值为负时，则与10...0(共n+2位)相加，联系反码的特点，即将真值负号移除后每位取反，然后加1，然后最高位添加1作为符号位。

伸展与收缩：由定义分析，当真值为正时，则和原码一致，添加0即可。当为负时，扩展添0，取反后则为添1，加1时不会影响扩展位(因为负值的二进制形式必不全为0)，最后保持符号位不变。形式上，正值在最高位添加和删除0，负值扩在最高位添加和删除1。

例0-3 求11的8位补码表示

解：为011，扩展到8位为0000 0011。

例0-4 求-11的8位补码表示

解：为1000-11=0101，即101，扩展到8位为1111 1101。

还可以利用性质来求：^11=00，00+1=01，添加符号位即101。

一、移位运算

移位的数学意义为乘2和除2。

1.算术移位

识别符号的移位，符号位不变。

编码

机器数(真值)

算术左移(真值)

算术右移(真值)

原码

0001(1)

0010(2)

0000(0)

原码

0100(4)

0000(0)

0010(2)

原码

1001(-1)

1010(-2)

1000(-0)

原码

1100(-4)

1000(-0)

1010(-2)

补码

1001(-7)

1010(-6)

1100(-4)

补码

1100(-4)

1000(-8)

1010(-6)

2.逻辑移位

不识别符号的移位。

3.移位总结

对于原码和补码，算术移位和逻辑移位，左移和右移，仅有负数的补码形式在右移时填充1，其余均为填0。

对于正数、原码负数，左移掉1则引起错误，右移掉1则引起偏差。

对于补码负数，左移掉0则引起错误，右移掉0则引起偏差。

二、加法和减法

1.原码加、减法

直接根据符号位进行加减即可。将符号位提取出来，然后转换成“正值+正值”或者“正值-正值”的形式。

参数1(真值)

参数2(真值)

运算

结果(真值)

0100(4)

0001(1)

+

0101(5)

0100(4)

1001(-1)

+

0011(3)

2.补码加法

若有 \(A>0,B>0\) ， 则

\([A]_补=A,[B]_补=B，\)即 \([A]_补+[B]_补=A+B=[A+B]_补\)。

若有 \(A>0,B<0\) ，则

\([A]_补=A,[B]_补=2^{n+1}+B,[A+B]_补=(A+B)或2^{n+1}+(A+B)\) ，即 \([A]_补+[B]_补=[A+B]_补(mod\space2^{n+1})\)

其它情况类似，不重复。

即补码加法公式：

\[[A+B]_补=[A]_补+[B]_补\space(mod\space2^{n+1})

\]

公式说明：

右边的加法为二进制加法，不考虑符号位。相加后去掉溢出位，即得到补码加法的结果(当然也是补码形式)。也即两个真值的补码直接相加即得两个真值的和的补码(宽度不变)。

例2.2-1 计算 \(0001_补+1111_补\) 。

解：\(0001+1111=1,0000\)，去掉溢出位，即结果为 \(0000\) 。

例2.2-2 计算 \(1111_补+1110_补\) 。

解：\(1111+1110=11101\)，去掉溢出位，即结果为 \(1101\)

3.补码减法

将减法转换为加法进行运算。

因为 \(A-B=A+(-B)，(B>0)\) ，

即 \([A-B]_补=[A+(-B)]_补\) ，

即补码的减法公式 $$[A-B]_补=[A]_补 + [-B]_补\space(mod\space 2^{n+1})$$

其中 \([-B]_补=\text{\textasciicircum}[B]_补+1\) 。^表示按位取反。

例2.3-1 计算 \(1111_补-0001_补\) 。

解：\(\text{\textasciicircum}[0001]+1=1110+1=1111，故1111-0001=1111+1111=11110\) ，去掉溢出位，结果为\(1110\)。

三、乘法

1.原码乘法

将符号位分离，单独计算正值的乘法，最后将符号计算并赋予结果。

正值的乘法和十进制乘法基本一致，在逻辑上表现为部分积累加并移位。

例3.1-1 计算 \(0011_原\times0010_原\) 。

解：直观结果为3x2=6=0110。

原码乘法计算过程：

\[\begin{aligned}

&0011

\\\times\space&0010

\\&0000

\\0&011

\\=\space0&0110

\end{aligned}

\]

例3.1-2 计算 \(0111_原\times0111_原\) 。

解：直观结果为7x7=49=00110001。

原码乘法计算过程：

\[\begin{aligned}

&0111

\\\times\space&0111

\\&0111

\\0&111

\\01&11

\\=\space11&0001

\end{aligned}

\]

2.补码乘法

先讨论补码乘法乘数为正的情况。

对 \([X]_补\times[Y]_补\) ，假设 \(Y>0\) ，则有

\([X]_补=2^{n+1}+X\space(mod\space 2^{n+1}),[Y]_补=Y\)

\([X]_补\times[Y]_补=(2^{n+1}+X)\cdot Y\space(mod\space2^{n+1})

\\=X\cdot Y\space(mod\space2^{n+1})

\\=[X\cdot Y]_补\space(mod\space2^{n+1})\)

这说明，当 \(Y\) 为正时，补码的乘法即为各自补码直接二进制乘法的结果(去除溢出位)。

例3.2-1 计算 \(1111_补\times0011_补\) 。

解：直观结果为(-1)x(3)=-3=1101。

\[\begin{aligned}

&1111

\\\times\space&0011

\\&1111

\\1&111

\\=\space10&1101

\end{aligned}

\]

去除溢出位即为 \(1101\)

再讨论乘数为负的情况。

此时有 \([Y]_补=2^{n+1}+Y\) ，也即 \(Y=[Y]_补-2^{n+1}\) 。

即 \(X\cdot Y=X\cdot ([Y]_补-2^{n+1})\) 。

记 \([Y]_补=1y_1y_2...y_n=0y_1y_2...y_n+2^n\) 。

则 \(X\cdot Y=X\cdot(0y_1y_2...y_n-2^{n})

\\=X\cdot 0y_1y_2...y_n-X\cdot 2^n\) 。

即 \([X\cdot Y]_补=[X\cdot 0y_1y_2...y_n-X\cdot 2^n]_补\)

由补码减法公式，分解右式，有

\([X\cdot Y]_补=[X\cdot 0y_1y_2...y_n]_补+[-X\cdot 2^n]_补\space(mod\space2^{n+1})\)

记 \(X=x_1x_2...x_n\) ，则 \([-X\cdot 2^n]_补=[-x_1x_2...x_n0_10_2...0_n]_补

\\=1\text{\textasciicircum}(x_1x_2...x_n)1_11_2...1_n+1

\\=x_n0_10_2...0_n

\\=x_n\times2^n\space(mod\space2^{n+1})\)

\(0.y_1y_2...y_n\) 是一个补码形式的正数，可应用补码正乘数规律进行分解。故

\([X\cdot Y]_补=[X]_补\cdot 0y_1y_2...y_n+x_n\times2^n\space(mod\space2^{n+1})\)

也即如果乘数为负，则将乘数去掉符号位与被乘数二进制相乘，然后加上 \(x_n\times2^n\) 即得乘积的补码。

例3.2-2 计算 \(0011_补\times1110_补\) 的8位补码表示

解：直观结果为 \(3\times(-2)=-6=1010\)

解法：

\(x_n\times2^n\)=1000

\[\begin{aligned}

&0011

\\\times\space&0110

\\0&011

\\00&11

\\=\space01&0010

\\+\space&1000

\\=\space01&1010

\end{aligned}

\]

保留4位为 \(1010\)，扩展到8位为 \(1111\space1010\)。

例3.2-3 计算 \(1110_补\times 1110_补\) 的8位补码表示

解：直观结果为 \(-2\times-2=4=0100=0000,0100\)

解法：

\(x_n\times2^n=0\)

\[\begin{aligned}

&1110

\\\times\space&0110

\\1&110

\\11&10

\\=\space101&0100

\\+\space&0000

\\=\space101&0100

\end{aligned}

\]

保留4位为0100，扩展到8位为 \(0000,0100\) 。

总结：

\[[X\cdot Y]_补=

\begin{cases}

[X]_补\times[Y]_补\space(mod\space2^{n+1}) &Y\ge0

\\ [X]_补\cdot 0y_1y_2...y_n+x_n\times2^n\space(mod\space2^{n+1}) \space &Y<0

\end{cases}

\]

记 \(Y=y_0y_1y_2...y_n\)，则可以简化为

\[[X\cdot Y]_补=[X]_补\cdot 0y_1y_2...y_n+y_0\cdot x_n\times2^n\space(mod\space2^{n+1}) \space

\]

标签：...,space,cdot,补码,1111,定点,原码

来源： https://www.cnblogs.com/amazzzzzing/p/14039627.html