解题报告：luogu P2272 [ZJOI2007]最大半连通子图（tarjan缩点、递推DP、hash、set判重）

这时yxc上课时讲解的截图。

一般用到tarjan算法的题目步骤都非常相似：

tarjan算法
缩点，建图（这里要判重）
按照拓扑序递推（这里缩点以后逆向就已经是拓扑序了）/ 循环遍历新图求解答案。

导出子图：点是原图的子集，边一定包含与子图中所有点有关的边。
半联通子图：所有的两个点，我要么可以直接一条路过去，要么你可以直接过来。
显然，对于任意一个强连通分量S∈GS\in GS∈G，它一定一个半连通子图，于是我们可以考虑先缩点。缩点之后，原图变成了一个有向无环图，显然，对于任意一条DAG中的一条单向到达的链，它都是一个半连通子图。

所以答案K就是DAG中最大链的顶点个数，答案C就是DAG中不同的最大链有多少种。
由于整个DAG按顺序已经是一个拓扑序了，所以我们可以直接递推DP线性O(n)O(n)O(n)求答案。设size(u)表示顶点u代表的强连通分量
S中的顶点个数，f(u)表示从顶点u开始延伸的最大链的顶点个数，g(u)表示从顶点u开始延伸的不同的最大链有多少个，则有：
f(u)=size(u)+max(f(v))(u→v)f(u)=size(u)+max(f(v))\ \ \ \ (u\to v)f(u)=size(u)+max(f(v)) (u→v)

g(u)=∑g(v)(u→v,size(u)+f(v)=f(u))g(u)=∑g(v)(u→v,size(u)+f(v)=f(u))g(u)=∑g(v)(u→v,size(u)+f(v)=f(u))每次从一个没有被访问过的顶点开始做深度优先搜索，回溯时计算每个顶点的f，g值。K，C也可以按照相同的方式进行更新。

本题需要判重去重，因为第二问是总的方案数，如果边是一摸一样的那么方案应该是同一种，所以如果不判重就会影响最后的答案。我们直接用一个set判重，顺便用到一个巧妙的hash，因为我们一共就只有100000个点，所以我们直接把所有的点都映射到100000+v即可，不会产生冲突。
需要注意的是建完的图是逆拓扑序,按照拓扑序递推DP,所以必须倒着来循环DP。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<unordered_set>using namespace std;const int N = 100007, M = 2000007, INF = 0x3f3f3f3f;typedef long long ll;
int mod;
int n, m;
int dfn[N], low[N], num;
int ver[M], edge[M], head[N], nex[M], tot;
int h[N];int Size[N], scc_cnt, scc_id[N];
int stk[N], top, ins[N];int f[N], g[N];//顶点个数和方案数void add(int h[],int x,int y){ver[tot] = y;nex[tot] = h[x];h[x] = tot ++ ;
}void tarjan(int x){dfn[x] = low[x] = ++ num;stk[ ++ top] = x;ins[x] = true;for(int i = head[x];~i;i = nex[i]){int y = ver[i];if(!dfn[y]){tarjan(y);low[x] = min(low[x],low[y]);}else if(ins[y]){low[x] = min(low[x], dfn[y]);}}if(dfn[x] == low[x]){int y;++ scc_cnt;do{y = stk[top -- ];ins[y] = false;scc_id[y] = scc_cnt;Size[scc_cnt] ++ ;}while(x != y);}
}int main()
{memset(head,-1,sizeof head);memset(h,-1,sizeof h);scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);while(m -- ){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);add(head,x,y);}for(int i = 1;i <= n;++i)if(!dfn[i])tarjan(i);unordered_set<ll>st;//(u,v) -> u * 1000000 + v;//因为一共只有100000个点for(int i = 1;i <= n;++i){for(int j = head[i];~j;j = nex[j]){int k = ver[j];int a = scc_id[i], b = scc_id[k];ll hash = a * 100000ll + b;//建新图并判重if(a != b && !st.count(hash)){add(h,a,b);st.insert(hash);}}}for(int i = scc_cnt;i >= 1;-- i){//建完的图是逆拓扑序,按照拓扑序递推,所以必须倒着来if(!f[i]){f[i] = Size[i];g[i] = 1;}for(int j = h[i];~j;j = nex[j]){int k = ver[j];if(f[k] < f[i] + Size[k]){f[k] = f[i] + Size[k];g[k] = g[i];}else if(f[k] == f[i] + Size[k]){g[k] = (g[k] + g[i]) % mod;}}}ll maxx = 0,sum = 0;for(int i = 1;i <= n;++i){if(f[i] > maxx){maxx = f[i];sum = g[i];}else if(f[i] == maxx){sum = (sum + g[i] ) % mod;}}printf("%lld\n%lld\n",maxx, sum);return 0;
}

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