三圆相交阴影部分面积_这题要证明圆的切线并求阴影面积，分割图形求面积法是解题关键...

各位关注数学世界的朋友，大家好！数学世界将继续为大家分享初中数学中有关圆的综合题，笔者希望通过对习题的分析与讲解，能够为广大初中生学习相关数学知识提供一些帮助！

长期关注我们的朋友都知道，数学世界一直都是精心挑选有代表性的数学题分享给大家，希望由此激发学生们对数学这门课程的学习兴趣，并能给广大学生学习数学这门课程提供助力！

今天，数学世界分享一道关于圆与扇形面积的计算以及三角形面积计算的解答题，涉及了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，中位线的性质等知识。下面，数学世界就与大家一起来看题目吧！

例题：(初中数学综合题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD、AB的延长线相交于点G．

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若CF=1，∠ACB=60°，求图中阴影部分的面积．

知识回顾

切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线性质：三角形中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

分析与解答：(请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。以下过程可以部分调整，并且可能还有其他不同的解题方法)(1)连接AD、OD，由AB为直径可得出点D为BC的中点，进一步得出OD为△BAC的中位线，再根据中位线的性质即可推出OD⊥DF，从而证明结论；(2)根据已知条件得到△ABC为等边三角形，再利用“分割图形求面积法”即可得到阴影部分的面积．

(1)(证切线，连半径。连结OD，只需证得OD⊥DF，即证得DF是⊙O的切线)

证明：如图，连接AD、OD，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，(直径所对的圆周角是90°)

∴AD⊥BC，

∵AC=AB，

∴点D为BC的中点．(等腰三角形“三线合一”)

∵点O为AB的中点，

∴OD为△BAC的中位线，

∴OD∥AC，(中位线的性质)

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，(平行线的性质)

∴DF是⊙O的切线．(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)

(2)解：在Rt△CFD中，CF=1，∠C=60°，

∴CD=2CF=2，(在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)

∵AC=AB，∠C=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴AB=BC=2BD=4．

∵OD∥AC，

∴∠DOG=∠BAC=60°，(两直线平行，同位角相等)

∴DG=OD·tan∠DOG=2√3，(三角函数的定义)

∴S阴影=S△ODG-S扇形OBD

=1/2·DG·OD-60/360·πOB^2

=2√3-2π/3．

(完毕)

这道题是关于圆的综合题，考查了切线的判定、等腰三角形的性质、扇形面积的计算以及三角形面积的计算，解题的关键是利用分割图形求面积。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。

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