极大似然估计的理解与应用

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极大似然估计是概率论中一个很常用的估计方法，在机器学习中的逻辑回归中就是基于它计算的损失函数，因此还是很有必要复习一下它的相关概念的。

背景

先来看看几个小例子：

猎人师傅和徒弟一同去打猎，遇到一只兔子，师傅和徒弟同时放枪，兔子被击中一枪，那么是师傅打中的，还是徒弟打中的？
一个袋子中总共有黑白两种颜色100个球，其中一种颜色90个，随机取出一个球，发现是黑球。那么是黑色球90个？还是白色球90个？

看着两个小故事，不知道有没有发现什么规律...由于师傅的枪法一般都高于徒弟，因此我们猜测兔子是被师傅打中的。随机抽取一个球，是黑色的，说明黑色抽中的概率最大，因此猜测90个的是黑色球。

他们有一个共同点，就是我们的猜测（估计），都是基于一个理论：概率最大的事件，最可能发生

其实我们生活中无时无刻不在使用这种方法，只是不知道它在数学中是如何确定或者推导的。而在数理统计中，它有一个专业的名词：

极大似然估计（maximum likelihood estimation, MLE），通俗的说就是 —— 最像估计法（最可能估计法）

数学过程

极大似然原理与数学表示

官方一点描述上面的过程，即：有n个实验结果，A i Ai 到A n An ，如果A j Aj 发生了，则意味着A j Aj 发生的概率最大。

即，一次试验就发生的事件，这个事件本身发生概率最大

PS

举个例子，我们在学校衡量学习成绩的标准就是考试成绩，高考更是一考定终身的感觉。高考成绩的好坏，则可以当做一个学生能力的体现，虽然有的人考试紧张考砸了，有的人超常发挥了，但是从概率上来说，高考的成绩基本可以判断这个人的（学习）能力。基于极大似然的解释就是，我们高考的成绩很大程度上反应了平时的学习能力，因此考得好的（当前发生的事件），可以认为是学习好的（所有事件发生概率最大的）。

再抽象一点，如果事件发生是关于 θ θ 参数的，那么一次事件放生时，样本为x 1 ,...x k x1,...xk ，那么θ ^ (x 1 ,...x k ) θ^(x1,...xk) 就是θ θ 的估计值。当θ=θ ^ (x 1 ,...x k ) θ=θ^(x1,...xk) 时，当前样本发生的概率最大。

PS

再举个射箭的例子，在《权力的游戏》中有个场景，老徒利死的时候，尸体放在穿上，需要弓箭手在岸边发射火箭引燃。但是当时的艾德慕·徒利公爵射了三箭都没中，布林登·徒利实在看不下去了，通过旗帜判断风向，一箭命中！
因此箭能否射中靶心，不仅跟弓箭手的瞄准能力有关，还跟外界的风向有关系。假设不考虑人的因素，但看风向...同样的瞄准和力度，风太大不行、太小也不行....那我们给风的大小设置一个值为θ θ 。假设一名弓箭手射出了三只箭，分别是8环、6环、7环（即x 1 =8 x1=8 ,x 2 =6 x2=6 ,x 3 =7 x3=7 ），当天风的大小为88。那么我们认为只有θ=88 θ=88 ，发生上面事件的概率最大。

极大似然估计法

如果总体X为离散型

假设分布率为P=p(x;θ) P=p(x;θ) ，x是发生的样本，θ θ 是代估计的参数，p(x;θ) p(x;θ) 表示估计参数为θ θ 时，发生x的的概率。

那么当我们的样本值为：x 1 ,x 2 ,...,x n x1,x2,...,xn 时，

L(θ)=L(x 1 ,x 2 ,...,x n ;θ)=∏ i=1 n p(x i ;θ) L(θ)=L(x1,x2,...,xn;θ)=∏i=1np(xi;θ)

其中L(θ) L(θ) 成为样本的似然函数。

假设

L(x 1 ,x 2 ,...,x n ;θ ^ )=max θ∈Θ L(x 1 ,x 2 ,...,x n ;θ) L(x1,x2,...,xn;θ^)=maxθ∈ΘL(x1,x2,...,xn;θ)

有 θ ^ θ^ 使得 L(θ) L(θ) 的取值最大，那么 θ ^ θ^ 就叫做参数 θ θ 的极大似然估计值。

如果总体X为连续型

基本和上面类似，只是概率密度为f(x;θ) f(x;θ) ，替代p。

解法

构造似然函数L(θ) L(θ)
取对数：lnL(θ) lnL(θ)
求导，计算极值
解方程，得到θ θ

解释一下，其他的步骤很好理解，第二步取对数是为什么呢？

因为根据前面你的似然函数公式，是一堆的数字相乘，这种算法求导会非常麻烦，而取对数是一种很方便的手段：

由于ln对数属于单调递增函数，因此不会改变极值点
由于对数的计算法则：lna b =blna lnab=blna 、lnab=lna+lnb lnab=lna+lnb ，求导就很方便了

例子这里就不举了，感兴趣的话，可以看看参考的第二篇里面有好几个求解极大似然估计的例子。

参考

深入浅出最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）
极大似然估计的原理和方法——强烈推荐，PPT其实讲的已经很清楚了
极大似然估计详解