用极大似然法估计因子载荷矩阵_第7章-因子分析.ppt
7.3 因子正交旋转 在第7.1节我们已经看到，满足方差结构Σ =AAT+Ф的因子模型并不惟一，模型的公因子与载荷矩阵不惟一.如果F是模型的公因子，A是相应的载荷矩阵，而T是m×m正交矩阵，则F*=TTF也是公因子，相应的载荷矩阵为A*=AT，A*也满足Σ =A*A*T+Ф这说明，公因子和因子载荷矩阵作正交变换后，并不改变共同度，我们称因子载荷的正交变换和伴随的因子正交变换为 因子正交旋转. * 主编：费宇 * 7.3 因子正交旋转 设 是用某种方法(比如主成分法)得到的因子载荷矩阵的估计，T为 m×m正交阵,则 是旋转载荷矩阵. 问题是：为什么要进行因子旋转？其目的是什么？ * 主编：费宇 * 7.3 因子正交旋转 如果初始载荷不易解释时，就需要对载荷作旋转，以便得到一个更简单的结构.最理想的情况是这样的载荷结构，每个变量仅在一个因子上有较大的载荷，而在其余因子上的载荷比较小，至多是中等大小，这样公因子Fi的具体含义可由载荷较大的变量根据具体问题加以解释.如何进行因子旋转寻找一个简单结构的载荷矩阵，这里不作详细介绍. * 主编：费宇 * 7.4 因子得分 在因子分析中，虽然我们关心模型中载荷矩阵的估计和对公因子的解释，但对于公因子的估计，即因子得分，有时也是需要的.但是因子得分的计算并不同于通常意义下的参数估计，而是对不可观测的因子fj取值的估计，下面介绍用加权最小二乘法估计因子得分. * 主编：费宇 * 1. 加权最小二乘法 给定因子模型X=μ+AF+ε, 假定均值向量μ, 载荷矩阵A和特殊方差阵Ф已知，把特殊因子ε 看作误差，因为Var(εi)=фi(i=1,2,…,p)未必相等,所以我们用加权最小二乘法估计公因子 F. 首先将因子模型 (7.2)改写为 * 主编：费宇 * 1. 加权最小二乘法 两边左乘Ф-1/2得 记X*=Ф-1/2(X-μ), A*=Ф-1/2A, ε*=Ф-1/2ε, 则上式可以写成 注意到E(ε*) =Ф-1/2E(ε)=0, cov(ε*)=E(ε*ε*T)=Ф-1/2E(εεT) Ф-1/2=I * 主编：费宇 * 1. 加权最小二乘法 所以(7.25)是经典的回归模型，由最小二乘法知F的估计为 实际中, A, Ф和μ都是未知的, 通常用它们的某种估计来代替, 比如我们采用正交旋转后的载荷矩阵A的估计 , 和样本均值 , 分别代替A, Ф和μ * 主编：费宇 * 1. 加权最小二乘法 于是可得对应于xj的因子得分 * 主编：费宇 * 例7.1 数据文件为eg6.1 前面第6章例6.1表6.1给出了52名学生的数学(x1)、物理(x2)、化学(x3)、语文(x4)、历史(x5)和英语(x6)成绩，试进行学生成绩的因子分析. 解:采用R软件对样本数据进行因子分析，首先计算样本数据的相关系数矩阵，观察各变量之间的相关性. * 主编：费宇 * 例7.1 数据文件为eg6.1 #假设已经读取了52名学生成绩数据 > cor(X) #计算样本数据的相关系数矩阵 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 1.00 0.65 0.70 -0.56 -0.46 -0.44 x2 0.65 1.00 0.57 -0.50 -0.35 -0.46 x3 0.70 0.57 1.00 -0.38 -0.27 -0.24 x4 -0.56 -0.50 -0.38 1.00 0.81 0.83 x5 -0.46 -0.35 -0.27 0.81 1.00 0.82 x6 -0.44 -0.46 -0.24 0.83 0.82 1.00 * 主编：费宇 * 例7.1 数据文件为eg6.1 从样本数据各变量的相关系数上可以看出, x4、x5和x6之间存在较强的相关性，为了消除各变量之间的相关性，下面分别采用R软件中基于极大似然法的因子分析函数factanal( )和基于主成分法的因子分析函数factpc( )对数据进行因子分析提取因子. * 主编：费宇 * 例7.1 数据文件为eg6.1 #极大似然法做因子分析 > factanal(X,factors=2,rotation="none") Call: factanal(x = X, factors = 2, rotat
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