计算机系统基础知识——详解二进制正负数及补码设计

前言：关于二进制数的补码反码等各种码，上学时候只学会了死记硬背却还是一头雾水，不懂这样设计的意义。所以总是隔很多时间后还是记不住，今天就尝试用自己的理解解释下正负数以及补码的设计，如果有不对的地方或者有更好的解释，欢迎各位大佬指出。

1. 二进制中的“0”

对于二进制数据的解释，位数极其重要。比如：0x00和0x100在被当作两个字节数据读取是，分别是0和256；在只读取一个字节时，都被解释为0。

2. 正负数满足的条件

现假设我们有8位二进制位表示十进制数，可表示的十进制数共有282^828种。
若我们用AAA表示其中一个二进制数，A′A'A′表示其中另外一个二进制数，并且AAA和A′A'A′是这个范围内完全不同的数，想要满足一个条件：A+A′=0A+A'=0A+A′=0。
只有一种情况可以满足，即0其实为0x100。AAA和A′A'A′相加后，满足了二进制加法进位，最高位溢出，对于机器平台定义的8位二进制数据来说，还是相当于0。
若想在282^828个数的范围中表示正负数，若AAA表示这个范围中的一个正数，A′A'A′表示这个数的相反数，则他们满足：
A+A′=0=sum,(sum = 0x100)A+A'=0=sum\text{,(sum = 0x100)} A+A′=0=sum,(sum = 0x100)
计算负数A′A'A′的表示为：A′=0−A=sum−AA'=0-A=sum-AA′=0−A=sum−A

3. 按位取反的数学意义

在上述例子中，对一个八位二进制数AAA按位取反得到A′′A''A′′,AAA和A′′A''A′′满足：A+A′′=0xFF=sum−1A+A''=\text{0xFF}=sum-1A+A′′=0xFF=sum−1，同时也有A=sum−1−A′′,A′′=sum−1−AA=sum-1-A'',A''=sum-1-AA=sum−1−A′′,A′′=sum−1−A

4. 补码的设计

对于一个8位二进制，对其计算采用8位范围内的数据范围，可得上述公式有：
A′=sum−AA′=sum−1−A+1=(sum−1−A)取反操作+1A=sum−A=(sum−1−A′)取反操作+1A'=sum-A \\ A'=sum-1-A+1=(sum-1-A)_{取反操作}+1 \\ A=sum-A=(sum-1-A')_{取反操作}+1 A′=sum−AA′=sum−1−A+1=(sum−1−A)取反操作+1A=sum−A=(sum−1−A′)取反操作+1
即补码的设计：

负数 = 正数取反 + 1
正数 = 负数取反 + 1

小结：若一个n位的二进制数，可表示2n2^n2n种数。若AAA是其中一个数，对AAA取反是求2n−1−A2^n-1-A2n−1−A。AAA的相反数是2n−A=2n−1−A+1=A取反+1=对A求补2^n-A=2^n-1-A+1=A \text{取反}+1= \text{对} A \text{求补}2n−A=2n−1−A+1=A取反+1=对A求补