BP神经网络原理及在Matlab中的应用

一、人工神经网络

关于对神经网络的介绍和应用，请看如下文章

神经网络潜讲

如何简单形象又有趣地讲解神经网络是什么

二、人工神经网络分类

按照连接方式——前向神经网络、反馈(递归)神经网络
按照学习方式——有导师学习神经网络、无导师学习神经网络
按照实现功能——拟合(回归)神经网络、分类神经网络

三、BP神经网络概述

1. 特点

BP神经网络中 BP 是指 BackPropagation (反向传播) ，指的是误差的反向传播，其信号是向前传播的，从结构上分类，它是前向有导师学习神经网络，BP神经网络要求激活函数必须是可微分的函数。

2. 学习算法

(1) 传播阶段

首先是信号传播

其次是误差的反向传播

将误差按照信号的反方向传播，结果的误差由权值设置不合理造成，这个步骤用来保证输出结果的正确性。

(2) 权值更新阶段

梯度下降法——利用梯度下降最快的方向进行权值修正

3. 举例

图中是一个简单的神经网络，可以计算出

y1=f1(w1x1+w3x2) y 1 = f 1 ( w 1 x 1 + w 3 x 2 )

y_{1} = f_{1}(w_1x_1+w_3x_2) , y2=f2(w2x1+w4x2+w5x3) y 2 = f 2 ( w 2 x 1 + w 4 x 2 + w 5 x 3 ) y_2 = f_2(w_2x_1+w_4x_2+w_5x_3) , y3=f3(w6x3) y 3 = f 3 ( w 6 x 3 ) y_3 = f_3(w_6x_3) , y4=f4(w11y1+w21y2+w31y3) y 4 = f 4 ( w 11 y 1 + w 21 y 2 + w 31 y 3 ) y_4 = f_4(w_{11}y_1+w_{21}y_2+w_{31}y_3), y5=f5(w32y3) y 5 = f 5 ( w 32 y 3 ) y_5 = f_5(w_{32}y3)。

最终输出为 y=f(w41y4+w51y5) y = f ( w 41 y 4 + w 51 y 5 ) y = f(w_{41}y4 + w_{51}y5) 。假设预期结果为 z z z 。

可以将最终结果与预期结果 z" role="presentation">zzz 作对比，得到误差值 δ δ δ , 从而得到 δ4=w41δ" role="presentation">δ4=w41δδ4=w41δδ_4 = w_{41}δ , δ5=w51δ δ 5 = w 51 δ δ_5 = w_{51}δ ， δ1=w11δ4 δ 1 = w 11 δ 4 δ_1 = w_{11}δ_4 ， δ2=w21δ4 δ 2 = w 21 δ 4 δ_2 = w_{21}δ_4 ， δ3=w31δ4+w32δ5 δ 3 = w 31 δ 4 + w 32 δ 5 δ_3 = w_{31}δ_4+w_{32}δ_5 。

因此可以得到 w1′=w1+ηδ1df1(e)dex1 w 1 ′ = w 1 + η δ 1 d f 1 ( e ) d e x 1 w_1\prime = w_1 + \eta\delta_1\cfrac{\mathrm{d}f_1(e) }{\mathrm{d}e}x_1 , e e e 为输入参数，其他权值修改同理。

四、数据归一化

什么是数据归一化
- 将数据映射到 [0，-1] 或 [-1，1] 区间或其他区间
为什么要数据归一化
- 输入数据的单位不一样，有些数据的范围很大，导致的结果是神经网络收敛慢、训练时间长。
- 数据范围大的输入在模式分类中的作用可能会偏大，数据范围小的输入在模式分类中的作用可能会偏小
- 由于神经网络输出层的激活函数的值域是有限制的，因此需要将网络训练的目标数据映射到激活函数的值域。
- 某些激活函数在 (0,1) 外很平缓，区分度很小。
归一化算法
- y=(x−min)/(max−min)" role="presentation">y=(x−min)/(max−min)y=(x−min)/(max−min)y = (x-min)/(max - min)
  - y=2∗(x−min)/(max−min)−1 y = 2 ∗ ( x − m i n ) / ( m a x − m i n ) − 1 y = 2*(x-min)/(max - min)-1
  - 五、函数介绍
    - 归一化函数——mapminmax()
      - [Y,PS] = mapminmax(X,YMIN,YMAX)，X是预处理的数据，Ymin和Ymax是期望的每一行的最小值与最大值，Y是规范化得到的数据，这种规范化的映射记录在 PS 中。
      - Y = mapminmax(‘apply’,X,PS)，这种方法一般是用在上一条语句之后，用上一条语句得到的 PS ，可以使得这里要处理的数据的规范化规则和上一条是一样的。
      - X = mapminmax(‘reverse’,Y,PS) ，预处理之后的数据进行反转得到原始数据。
    - 创建前向神经网络——newff()
      - net = newff(P,T,S,TF,BTF,BLF,PF,IPF,OPF,DDF)
      - P ：输入参数矩阵。
      - T ：目标参数矩阵。
      - S ：N-1个隐含层的数目（S（i）到S（N-1）），默认为空矩阵[] 。
      - TF：相关层的传递函数，默认隐含层为tansig函数，输出层为purelin函数。此外还有 purelin：线性传递函数。　tansig ：正切S型传递函数。logsig ：对数S型传递函数。
      - BTF：BP神经网络学习训练函数，默认值为trainlm函数。此外还有 traingd：最速下降BP算法。traingdm：动量BP算法。trainda：学习率可变的最速下降BP算法。traindx：学习率可变的动量BP算法。trainrp：弹性算法。变梯度算法：traincgf（Fletcher-Reeves修正算法）traincgp（Polak_Ribiere修正算法）traincgb（Powell-Beale复位算法）trainbfg（BFGS 拟牛顿算法）trainoss（OSS算法）。
      - BLF：权重学习函数，默认值为learngdm。PF：性能函数，默认值为mse，可选择的还有sse，sae，mae，crossentropy。
      - IPF，OPF，DDF均为默认值即可。
    - 训练函数——train()
      - [net,tr,Y,E,Pf,Af] = train(net,P,T,Pi,Ai)
      - net：神经网络
      - P : 神经网络输入
      - T：神经网络目标(可选，有或无)
      - Pi：初始输入延迟条件(默认为0)
      - Ai：初始层延迟条件(默认为0)
      - 返回值 net ：新的训练过的网络
      - 返回值 tr ：训练记录
    - 仿真，模拟，预测——sim()
      - [Y,Pf,Af,E,perf] = sim(net,P,Pi,Ai,T)
      - Y：输出
      - Pf：最终输出延迟
      - Af：最终层延迟
      - E：误差向量
      - perf：平均绝对误差(网络性能)
      - P：输入
      - Pi：初始输入延迟，默认为0
      - Ai：初始层延迟，默认为0
      - T：神经网络目标
    六、具体实例
    - 问题描述
    - 解题思路
    - 代码
    %% I. 清空环境变量
    clear all
    clc
    
    %% II. 训练集/测试集产生
    %%
    % 1. 导入数据
    load spectra_data.mat
    
    %%
    % 2. 随机产生训练集和测试集，因为是随机产生，所以每次执行的结果会不同
    temp = randperm(size(NIR,1));
    % 训练集——50个样本
    P_train = NIR(temp(1:50),:)’;
    T_train = octane(temp(1:50),:)’;
    % 测试集——10个样本
    P_test = NIR(temp(51:end),:)’;
    T_test = octane(temp(51:end),:)’;
    N = size(P_test,2);
    
    %% III. 数据归一化
    [p_train, ps_input] = mapminmax(P_train,0,1);
    p_test = mapminmax(‘apply’,P_test,ps_input);
    
    [t_train, ps_output] = mapminmax(T_train,0,1);
    
    %% IV. BP神经网络创建、训练及仿真测试
    %%
    % 1. 创建网络
    net = newff(p_train,t_train,9);
    
    %%
    % 2. 设置训练参数
    net.trainParam.epochs = 1000; %迭代次数
    net.trainParam.goal = 1e-3; %训练目标，误差范围
    net.trainParam.lr = 0.01; %学习率
    
    %%
    % 3. 训练网络
    net = train(net,p_train,t_train);
    
    %%
    % 4. 仿真测试
    t_sim = sim(net,p_test);
    
    %%
    % 5. 数据反归一化
    T_sim = mapminmax(‘reverse’,t_sim,ps_output);
    
    %% V. 性能评价
    %%
    % 1. 相对误差error
    error = abs(T_sim - T_test)./T_test;
    
    %%
    % 2. 决定系数R^2
    R2 = (N * sum(T_sim .* T_test) - sum(T_sim) * sum(T_test))^2 / ((N * sum((T_sim).^2) - (sum(T_sim))^2) * (N * sum((T_test).^2) - (sum(T_test))^2));
    
    %%
    % 3. 结果对比
    result = [T_test’ T_sim’ error’]
    
    %% VI. 绘图
    figure
    plot(1:N,T_test,’b:*’,1:N,T_sim,’r-o’)
    legend(‘真实值’,’预测值’)
    xlabel(‘预测样本’)
    ylabel(‘辛烷值’)
    string = {‘测试集辛烷值含量预测结果对比’;[‘R^2=’ num2str(R2)]}; %越接近1，效果越好
    title(string)
    - 执行结果
    - 参数对BP神经网络影响
      - 隐含层神经元节点个数
      - 激活函数类型的选择
      - 学习率
      - 初始权值与阈值
      - 交叉验证
      - 留一法
    七、源码及数据下载
    
    链接：https://pan.baidu.com/s/1PFhsEF-nBf1h2Ch3XYh4IA 密码：ebih