HDU 4826 Labyrinth(DP解法)

Problem Description

度度熊是一只喜欢探险的熊，一次偶然落进了一个m*n矩阵的迷宫，该迷宫只能从矩阵左上角第一个方格开始走，只有走到右上角的第一个格子才算走出迷宫，每一次只能走一格，且只能向上向下向右走以前没有走过的格子，每一个格子中都有一些金币（或正或负，有可能遇到强盗拦路抢劫，度度熊身上金币可以为负，需要给强盗写欠条），度度熊刚开始时身上金币数为0，问度度熊走出迷宫时候身上最多有多少金币？

Input

输入的第一行是一个整数T（T < 200），表示共有T组数据。
每组数据的第一行输入两个正整数m，n（m<=100，n<=100）。接下来的m行，每行n个整数，分别代表相应格子中能得到金币的数量，每个整数都大于等于-100且小于等于100。

Output

对于每组数据，首先需要输出单独一行”Case #?:”，其中问号处应填入当前的数据组数，组数从1开始计算。
每组测试数据输出一行，输出一个整数，代表根据最优的打法，你走到右上角时可以获得的最大金币数目。

Sample Input

2

3 4

1 -1 1 0

2 -2 4 2

3 5 1 -90

2 2

1 1

1 1

Sample Output

Case #1:

18

Case #2:

4

这题一开始我用的是DFS，发现超时了，然后百度了一下，发现要用DP。

DP思路是这样的：

①从左向右走的时候

要求(i,j)的最大值，就需要先求出 (i,j-1)的最大值。

可以到( i , j-1 )格子的有0，1，2三个格子， (i,j-1) 的值与从何处过来有关

所以我们需要对比从0，1，2过来(i,j-1)的情况。

我们用 dp[i][j][k] 记录位置 (i,j) 从方向 k 过来的最大值（k=0，1，2）

即 dp[ i ][ j ][ 1 ] = max( dp[ i ][ j - 1 ][ 0 ] , dp[ i ][ j - 1 ][ 1 ] , dp[ i ][ j - 1 ][ 2 ] ) + money[ i ][ j ];

②从下向上

dp[ i ][ j ][ 2 ] = max( dp[ i + 1 ][ j ][ 1 ] , dp[ i + 1 ][ j ][ 2 ] ) + money[ i ][ j ];

③从上向下

dp[ i ][ j ][ 0 ] = max(dp[ i - 1 ][ j ][ 0 ] , dp[ i - 1 ][ j ][ 1 ] ) + money[ i ][ j ];

当然，我们还需要考虑一下边界问题。

上边界

dp[ 1 ][ j ][ 0 ] = - INF

下边界

dp[ m ][ j ][ 2 ] = - INF

我们也可以一开始就把dp[i][j][k]初始化为 -INF

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<string.h>
#define INF 99999999
using namespace std;int money[101][101];
int dp[101][101][3];//i,j,k
//其中 k=0 从上过来  k=1 从左过来  k=2 从下过来
int max(int x, int y) {return x > y ? x : y;
}int main() {int T, m, n, c;int i, j, k;scanf("%d", &T);c = 1;while (c <= T) {scanf("%d %d", &m, &n);for (i = 1; i <= m; i++)for (j = 1; j <= n; j++)scanf("%d", &money[i][j]);memset(dp, -INF, sizeof(dp));//初始化dp[1][1][0] = dp[1][1][1] = dp[1][1][2] = money[1][1];for (i = 2; i <= m; i++)dp[i][1][0] = dp[i - 1][1][0] + money[i][1];for (j = 2; j <= n; j++) {for (i = 1; i <= m; i++)//从左向右dp[i][j][1] = max(max(dp[i][j - 1][0], dp[i][j - 1][1]), dp[i][j - 1][2]) + money[i][j];for (i = 2; i <= m; i++)//从上向下dp[i][j][0] = max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1]) + money[i][j];for (i = m - 1; i >= 1; i--)//从下向上dp[i][j][2] = max(dp[i + 1][j][1], dp[i + 1][j][2]) + money[i][j];}printf("Case #%d:\n", c);printf("%d\n", max(max(dp[1][n][0], dp[1][n][1]), dp[1][n][2]));c++;}return 0;
}

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