拟阵(matroid)

文章目录

定义
例子
拓展
应用

拟阵中所用的若干术语多半来自于代数（比如线性代数和抽象代数）和图论。

拟阵有许多等价的定义方式，最常见的定义方式是用独立集、基、圈、闭集合、闭平面、闭包算子或秩函数。我们下面只会介绍第一个定义拟阵的方式。

下面先说拟阵到底有什么用：
拟阵有一个最为基本的优化性质：极大独立集一定是最大独立集合，而这个可以在实践中变成贪心算法。

定义

上面的第2，3个条件为了好理解，可以类比线性独立的概念。简而言之，fff集合就是所有“线性无关”的集合的集合。
第二个就是：

即大集合中两两元素都线性无关，那么大集合的任何子集中的元素都线性无关。比如A是S的子集，那么如果S集合内的元素两两线性无关，那么A集合内的元素也是两两线性无关。

类似的，第三个条件即如下：

可以看到，这两个和我们线性代数中的线性无关的特点都是一致的。

例子

给个例子，看懂了，就结束了。为了简单，我们的大集合E取3维空间的如下4个向量。

那么：

然后，根据第2个条件，上面3个集合的子集也是线性无关组。所以fff最终为：

相信此刻，你已经有了充分的理解，那么把这个理解迁移到组合最优化或者图论中就是：

目标：

这个时候，我们需要冷静的想一下，能不能建立一个拟阵，我们关键是要验证无圈子图这个概念是否满足拟阵定义中的3个条件。

边集为空集构成的图当然是无圈子图
无圈图的边集的子集构成的子图当然还是无圈图
这个你自己可以动手试试，条件3也是满足的，此处不证

即可以建立一个拟阵，那么我们有了思路，类比前面那个例子，找到最大的无圈子图，然后其子集全部都仍然是，这样的话，一下子就找完了全部。

支撑树就是生成树，其加上一条边就一定会构成圈。所以是“极大线性无关组”。

拓展

可图拟阵：如果一个拟阵M可以被解释为一个图G的某一个场景（比如无圈），而且反过来也可以，那么称M和G同构，同时，称这个拟阵是可图的。

例子中的两个就是同构关系。前者4个向量，后者4条“边”，其他的结构也一模一样，都是一一对应关系，集合中叫做双射。

这不免让人觉得肯定任何拟阵都是可图的，那就错了，比如：
M=(E={1,2,3},f={ϕ,{1},{2},{1,2}})M=(E=\{1,2,3\},f=\{\phi,\{1\},\{2\},\{1,2\} \} )M=(E={1,2,3},f={ϕ,{1},{2},{1,2}})
这个是一个拟阵（其满足我们最开始的拟阵定义的3个条件），但是其无法对应到图中来。
因为3条边的图，无论你怎么画，f中都至少是7个元素，即至少为：
f={ϕ,{1},{2},{1,2},{3},{1,3},{2,3}}f=\{\phi,\{1\},\{2\},\{1,2\}, \{3\},\{1,3\},\{2,3\}\}f={ϕ,{1},{2},{1,2},{3},{1,3},{2,3}}

例如：

这个图的无圈子图集合就是上述fff。

当然了，如果画成下面这样，f中就为8个元素了。
f={ϕ,{1},{2},{1,2},{3},{1,3},{2,3}{1,2,3}}f=\{\phi,\{1\},\{2\},\{1,2\}, \{3\},\{1,3\},\{2,3\}\,\{1,2,3 \}\}f={ϕ,{1},{2},{1,2},{3},{1,3},{2,3}{1,2,3}}

但是，无论哪一种3条边的图的画法，都不可能对应到上述fff。
f={ϕ,{1},{2},{1,2}}f=\{\phi,\{1\},\{2\},\{1,2\} \}f={ϕ,{1},{2},{1,2}}

所以，这个拟阵是不可图的。

应用

这里，我想是你最关心的问题，抽象为拟阵问题有什么用？可以使用贪婪算法解决这类问题。

我们就想象上面那个图的无圈子图问题，我们要求其最大无圈子图（最小生成树），（拟阵中叫做最大独立集），每一条边会有一个权重，记为c(ei)c(e_i)c(ei)。我们对这些权重排序后，假设是这样的。

注：这里的权重如果理解成边的长度的话，那么下面是求解最大生成树，看你如何理解权重了，如果理解为边越短，权重越大，那么就是求解通常的最小生成树。

那么求解最大无圈子图即为：

即每次都挑选一个剩下当中最大权值的边来进入（e1e_1e1是最大的），不过要看加入后是不是无圈子图，如果第一次中，e1e_1e1不属于无圈子图，那么不能加入到J。

算法运行结束后，就得到了最大权的无圈子图J。

这显然是一个贪心算法。其实，只要你所遇到的问题，可以抽象为拟阵的形式，都可以使用贪心算法。只是，有些问题并不能抽象为拟阵，此时，不能用贪心算法。

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