【Advanced控制理论】Nonlinear Adaptive Controller非线性自适应控制器（附Simulink程序）

在上一篇BLOG中谈到了非线性反馈控制器，其中系统的所有参数均为已知，这样的系统称为Exactly Known System。若系统中的参数未知该如何求解，由此引出Nonlinear Adaptive Controller。DR_CAN的相关视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1yW411u7qv

在之前的Tracking Problem中，系统的状态方程为：x˙=ax2+u(1)\dot{x}=ax^2+u\tag{1}x˙=ax2+u(1)

设：e=xd−x(2)e=x_{d}-x\tag{2}e=xd−x(2)e˙=x˙d−x˙=x˙d−ax2−u(3)\dot{e}=\dot{x}_{d}-\dot{x}=\dot{x}_{d}-ax^2-u\tag{3}e˙=x˙d−x˙=x˙d−ax2−u(3)

定义:V(e)=12e2(PD)V_{(e)}=\frac{1}{2}{e}^2\tag{PD}V(e)=21e2(PD)V˙(e)=ee˙=e(x˙d−ax2−u)(4)\dot{V}_{(e)}=e\dot{e}=e(\dot{x}_{d}-ax^2-u)\tag{4}V˙(e)=ee˙=e(x˙d−ax2−u)(4)

令：u=x˙d−ax2+ke(5)u=\dot{x}_d-ax^2+ke\tag{5}u=x˙d−ax2+ke(5)

这样V˙(e)=−ke2\dot{V}_{(e)}=-ke^2V˙(e)=−ke2为NDNDND，将(5)(5)(5)式代入(3)(3)(3)式得到：e˙=−ke\dot{e}=-kee˙=−ke，整个过程为Feedback Linearization。

以上是在aaa为已知的情况下，假设有这样一个模型：给一小车施加一个力FFF，使得小车以期望速度x˙\dot{x}x˙运动，其中车上载有一个人的质量为mmm，我们期望不论人的质量为多少，小车均能按照稳定速度运动，即Adapt the unkonwn parameter。假设aaa是一个缓慢变化的常数，即a˙=0\dot{a}=0a˙=0。引入Estimate：a^\hat{a}a^和Estimate error：a~=a−a^\tilde{a}=a-\hat{a}a~=a−a^，得到：a~˙=a˙−a^˙=−a^˙(6)\dot{\tilde{a}}=\dot{a}-\dot{\hat{a}}=-\dot{\hat{a}}\tag{6}a~˙=a˙−a^˙=−a^˙(6)

此时u=x˙d−a^x2+ke(7)u=\dot{x}_d-\hat{a}x^2+ke\tag{7}u=x˙d−a^x2+ke(7)

定义Lyapunov functionV(e,a~)=12e2+12a~2(PD)V_{(e,\tilde{a})}=\frac{1}{2}e^2+\frac{1}{2}\tilde{a}^2\tag{PD}V(e,a~)=21e2+21a~2(PD)V˙=ee˙+a~a~˙=e(x˙d−ax2−u)−a~a^˙(8)\dot{V}=e\dot{e}+\tilde{a}\dot{\tilde{a}}=e(\dot{x}_{d}-ax^2-u)-\tilde{a}\dot{\hat{a}}\tag{8}V˙=ee˙+a~a~˙=e(x˙d−ax2−u)−a~a^˙(8)

将(7)(7)(7)代入(8)(8)(8)式得：V˙=e(−(a−a^)x2−ke)−a~a^˙=−ea~x2−ke2−a~a^˙=−ke2−a~(ex2+a^˙)(9)\dot{V}=e(-(a-\hat{a})x^2-ke)-\tilde{a}\dot{\hat{a}}=-e\tilde{a}x^2-ke^2-\tilde{a}\dot{\hat{a}}=-ke^2-\tilde{a}(ex^2+\dot{\hat{a}})\tag{9}V˙=e(−(a−a^)x2−ke)−a~a^˙=−ea~x2−ke2−a~a^˙=−ke2−a~(ex2+a^˙)(9)

其中−ke2-ke^2−ke2为NDNDND，令a^˙=−ex2\dot{\hat{a}}=-ex^2a^˙=−ex2，这样(9)(9)(9)式后半部分为000，即：V˙(e,a~)=−ke2(NSD)\dot{V}_{(e,\tilde{a})}=-ke^2\tag{NSD}V˙(e,a~)=−ke2(NSD)

此时无法判定e→0e\rightarrow0e→0和a~→0\tilde{a}\rightarrow0a~→0，只能确定二者稳定，需要引入Lyapunov-like lemma：
1）V≥01）V\ge 01）V≥0
2）V˙≤−g(t)，whereg(t)≥02）\dot{V}\le-g(t)，where\space g(t)\ge02）V˙≤−g(t)，where g(t)≥0
3）g˙(t)∈L，ifg˙(t)isboundedtheg(t)isuniformlycontinuous3）\dot{g}(t)\in L，if\space \dot{g}(t)\space is\space bounded\space the\space {g}(t)\space is\space uniformly\space continuous3）g˙(t)∈L，if g˙(t) is bounded the g(t) is uniformly continuous
thenlim⁡t→∞g(t)=0then\space \lim\limits_{t\to\infty}g(t)=0then t→∞limg(t)=0

在本模型中，VVV为PDPDPD自然满足PSDPSDPSD，满足(1)(1)(1)；
V˙=−ke2\dot{V}=-ke^2V˙=−ke2，令g(t)=ke2≥0g(t)=ke^2\ge0g(t)=ke2≥0，满足(2)(2)(2)；
g˙(t)=2kee˙\dot{g}(t)=2ke\dot{e}g˙(t)=2kee˙是收敛的且g(t)g(t)g(t)为一致连续的，满足(3)(3)(3)。
即可得出结论lim⁡t→∞ke2=0\lim\limits_{t\to\infty}ke^2=0t→∞limke2=0，即在t→∞t\to\inftyt→∞时e→0e\to0e→0，令：a^˙=−ex2=−∫0tex2dt(10)\dot{\hat{a}}=-ex^2=-\int_{0}^{t}ex^2dt\tag{10}a^˙=−ex2=−∫0tex2dt(10)

将(10)(10)(10)式代入(7)(7)(7)式得出：u=x˙d+x2∫0tex2dt+keu=\dot{x}_d+x^2\int_{0}^{t}ex^2dt+keu=x˙d+x2∫0tex2dt+ke

即我们要求的最终结果。

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以下为Matlab Simulink程序仿真：

当期望值xdx_dxd设为常数222，aaa设为[24][2\space4][2 4]的RepeatingSequenceStairRepeating\space Sequence\space StairRepeating Sequence Stair时，仿真结果如下：

其中黄线为期望值，蓝线为实际值，追踪结果良好。系统输入uuu曲线如图：
可以看到初始时输入很大，后期输入基本为000。

Simulink程序链接：
链接：https://pan.baidu.com/s/1IUelPowOM9osWAK-Za3G9Q
提取码：ehxq

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