无线定位原理：TOA&AOA

TOA 定位方法

TOA 定位方法，主要是根据测量接收信号在基站和移动台之间的到达时间，然后转换为距离，从而进行定位。该方法至少需要三个基站，才能计算目标的位置，其定位示意图如图所示。

三个基站测得与 MS 的距离分别为 r1,r2,r3r_1,r_2,r_3r1,r2,r3，以各自基站为圆心测量距离为半径，绘制三个圆，其交点即为 MS 的位置。当三个基站都是 LOS 基站时，一般可以根据最小二乘(LS)算法计算 MS 的估计位置。假设 MS 位的置坐标为 (x,y)(x,y)(x,y)，NNN 个 BS 的位置坐标为 (xi,yi)(x_i,y_i)(xi,yi)，根据其几何意义，则它们之间满足的关系是

(xi−x)2+(y−yi)2=ri2,i=1,2,⋯ ,N(x_i-x)^2+(y-y_i)^2=r_i^2,\quad i=1,2,\cdots,N (xi−x)2+(y−yi)2=ri2,i=1,2,⋯,N

将公式展开，化简得到

xi2+yi2+x2+y2−2xix−2yiy=ri2⇓Ki=xi2+yi2,R=x2+y2⇓ri2−Ki=−2xix−2yiy+R⇓[r12−K1r22−K2⋮rN2−KN]=[−2x1−2y11−2x2−2y21⋮−2xN−2yN1][xyR]⇓Y=AXx_i^2+y_i^2+x^2+y^2-2x_ix-2y_iy=r_i^2 \\ \Downarrow \\ K_i = x_i^2+y_i^2,\quad R=x^2+y^2 \\ \Downarrow \\ r_i^2-K_i=-2x_ix-2y_iy+R \\ \Downarrow \\ \begin{bmatrix} r_1^2-K_1\\ r_2^2-K_2\\ \vdots \\ r_N^2-K_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2x_1&-2y_1&1\\ -2x_2&-2y_2&1\\ \vdots \\ -2x_N&-2y_N&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ R \end{bmatrix} \\ \Downarrow \\ Y=AX xi2+yi2+x2+y2−2xix−2yiy=ri2⇓Ki=xi2+yi2,R=x2+y2⇓ri2−Ki=−2xix−2yiy+R⇓⎣⎢⎢⎢⎡r12−K1r22−K2⋮rN2−KN⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡−2x1−2x2⋮−2xN−2y1−2y2−2yN111⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎡xyR⎦⎤⇓Y=AX

我们要求得坐标 (x,y)(x,y)(x,y)，即求得 XXX。利用最小二乘法可得
X=(ATA)−1ATYX = (A^TA)^{-1}A^TY X=(ATA)−1ATY

AOA 定位方法

AOA 定位方法，主要是测量信号移动台和基站之间的到达角度，以基站为起点形成的射线必经过移动台，两条射线的交点即为移动台的位置。该方法只需两个基站就可以确定 MS 的估计位置，其定位示意图如图所示。

当 BS 装有天线阵列时，天线阵列根据移动台发送的信号来确定入射角度。两个基站的入射角分别为 α1,α2\alpha_1,\alpha_2α1,α2，以各基站为起点，入射角方向构造直线的交点，即为 MS 的位置。假设 MS 位的置坐标为 (x,y)(x,y)(x,y)，NNN 个 BS 的位置坐标为 (xi,yi)(x_i,y_i)(xi,yi)，根据其几何意义，则它们之间满足
tan⁡αi=y−yix−xi\color{red} { \tan \alpha_i = \frac{y-y_i}{x-x_i} } tanαi=x−xiy−yi
将上式展开可得

(x−xi)tan⁡αi=y−yi⇓yi−xitan⁡αi=−xtan⁡αi+y⇓[y1−x1tan⁡α1y2−x2tan⁡α2⋮yN−xNtan⁡αN]=[−tan⁡α11−tan⁡α21⋮−tan⁡αN1][xy]⇓Y=AX(x-x_i)\tan \alpha_i = y-y_i \\ \Downarrow \\ y_i-x_i\tan \alpha_i = -x\tan \alpha_i+y \\ \Downarrow \\ \begin{bmatrix} y_1-x_1\tan \alpha_1\\ y_2-x_2\tan \alpha_2\\ \vdots \\ y_N-x_N\tan \alpha_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\tan \alpha_1&1\\ -\tan \alpha_2&1\\ \vdots \\ -\tan \alpha_N&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \\ \Downarrow \\ Y=AX (x−xi)tanαi=y−yi⇓yi−xitanαi=−xtanαi+y⇓⎣⎢⎢⎢⎡y1−x1tanα1y2−x2tanα2⋮yN−xNtanαN⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡−tanα1−tanα2⋮−tanαN111⎦⎥⎥⎥⎤[xy]⇓Y=AX

同样可以利用最小二乘法解的 XXX。

TOA/AOA 混合定位

当基站能同时获得 TOA 和 AOA 信息时，通常联合上述公式，采用 TOA/AOA 混合定位方法，令
Y=[r12−K1⋮rN2−KNy1−x1tan⁡α1⋮yN−xNtan⁡αN]A=[−2x1−2y11⋮−2xN−2yN1−tan⁡α110⋮−tan⁡αN10]X=[xyR]\begin{aligned} Y &= \begin{bmatrix} r_1^2-K_1\\ \vdots \\ r_N^2-K_N \\ y_1-x_1\tan \alpha_1\\ \vdots \\ y_N-x_N\tan \alpha_N \end{bmatrix} \\ A &= \begin{bmatrix} -2x_1&-2y_1&1\\ \vdots \\ -2x_N&-2y_N&1\\ -\tan \alpha_1&1&0\\ \vdots \\ -\tan \alpha_N&1&0 \end{bmatrix} \\ X &= \begin{bmatrix} x\\ y\\ R \end{bmatrix} \end{aligned} YAX=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡r12−K1⋮rN2−KNy1−x1tanα1⋮yN−xNtanαN⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡−2x1⋮−2xN−tanα1⋮−tanαN−2y1−2yN111100⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎡xyR⎦⎤
同理利用 LS 算法求解，得到移动台的位置。