例1   鸡兔同笼

【问题描述】

一个笼子里面关了鸡和兔子(鸡有2 只脚，兔子有4 只脚，没有例外)。已知笼子里面脚的总数a，问笼子里面至少有多少只动物，至多有多少只动物？

【输入数据】

第1 行是测试数据的组数n，后面跟着n 行输入。每组测试数据占1 行，包括一个正整数a (a < 32768)。

【输出要求】

n 行，每行输出对应一个输入。输出是两个正整数，第一个是最少的动物数，第二个是最多的动物数，两个正整数用空格分开。如果没有满足要求的情况出现，则输出2 个0。

【输入样例】

2

3

20

【输出样例】

0  0

5  10

(1)编程思路。

由于鸡有2 只脚，兔子有4 只脚，因此笼子里面脚的总数一定是个偶数。如果有奇数只脚，则输入不正确。即没有满足要求的情况出现，则输出2 个0。

当a是偶数时，若要动物数目最少，则应使动物尽量有4 只脚，而要动物数目最多，则应使动物尽量有2 只脚。因此本题无需用循环穷举，只需按上面的分析找到相应的计算式子即可。

如果总脚数a 是4 的倍数，则动物最少数目为a / 4(全部为兔子)，最多为a / 2(全部为鸡)。

如果总脚数a 不是4 的倍数，则动物最少数目为a/4+1(除1只鸡外，其余全部为兔子)，最多为a / 2(全部为鸡)。

因此，编写一个简单的选择结构实现相应的判断和计算输出就可以了。

(2)源程序。

#include

int main()

{

int n,i,a;

scanf("%d",&n);

while (n--)

{

scanf("%d",&a);

if (a%2!=0)

printf("0 0\n");

else if (a % 4!=0)

printf("%d %d\n",a/4+1,a/2);

else

printf("%d %d\n",a/4,a/2);

}

return 0;

}

习题1

1-1  P1348 Couple number

本题选自洛谷题库 (https://www.luogu.org/problem/P1348)

【题目描述】

任何一个整数N都能表示成另外两个整数a和b的平方差吗？如果能，那么这个数N就叫做Couple number。你的工作就是判断一个数N是不是Couple number。

【输入格式】

仅一行，两个长整型范围内的整数n1和n2，之间用1个空格隔开。

【输出格式】

输出在n1到n2范围内有多少个Couple number。

注意：包括n1和n2两个数，且n1

【输入样例】

1  10

【输出样例】

7

(1)编程思路。

本题的关键问题是如何判断一个数N是不是Couple number。

设N=a2-b2，则N=(a+b)(a-b)

由于a，b均为整数，则a+b与a-b的奇偶性一定相同。

如果a+b是奇数，奇数乘奇数一定是奇数，因此N一定是奇数。

如果a+b是偶数，偶数乘偶数一定是4的倍数，因此N也一定是4的倍数。

由此可知，Couple number要么是奇数，要么是4的倍数。

反过来，一个奇数或一个4的倍数的数是否一定是Couple number呢？我们可以很简单地构造出a和b来。

若N是奇数，可设N=2k-1 (k是整数)。可取a=k,b=k-1，则N= a2-b2=(a+b)(a-b)=2k-1。

若N是4的倍数，可设N=4k (k是整数)。可取a=k+1,b=k-1，则N= a2-b2=(a+b)(a-b)=4k。

若N是偶数但不是4的倍数，可设N=2k (k为奇数)，则N无论如何分解因数，一定只能分解为一个偶数和一个奇数相乘，这样(a+b)与(a-b)中一定一个为奇数，另一个为2的奇数倍。但是(a+b)和(a-b)同奇偶性，因此N无法表示成两个整数a和b的平方差。

(2)源程序。

#include

int main()

{

int n1,n2,i,cnt=0;

scanf("%d%d",&n1,&n2);

for (i=n1;i<=n2;i++)

if (i%2!=0 || i%4==0)

cnt++;

printf("%d\n",cnt);

return 0;

}

1-2  整数解

本题选自HDU  OJ (http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2092)

Problem Description

有二个整数，它们加起来等于某个整数，乘起来又等于另一个整数，它们到底是真还是假，也就是这种整数到底存不存在，实在有点吃不准，你能快速回答吗？看来只能通过编程。

例如：

x + y = 9，x * y = 15 ? 找不到这样的整数x和y

1+4=5，1*4=4，所以，加起来等于5，乘起来等于4的二个整数为1和4

7+(-8)=-1，7*(-8)=-56，所以，加起来等于-1，乘起来等于-56的二个整数为7和-8

Input

输入数据为成对出现的整数n，m(-10000

Output

只需要对于每个n和m，输出“Yes”或者“No”，明确有还是没有这种整数就行了。

Sample Input

9 15

5 4

1 -56

0 0

Sample Output

No

Yes

Yes

(1)编程思路。

设 x+y=n  x*y=m，可得  x*(n-x)=m   x2-nx+m=0

求解这个以x为未知数的一元二次方程。

令 dlt=n2-4m，

若dlt<0，则方程无实根，x和y更不可能为整数，因此，输出“No”。

若dlt==0，可求得x=y=n/2，且x和y均为整数，因此，输出“Yes”。

若dlt>0，根据一元二次方程求根公式求得方程两个实根x1和x2(这两个实根不一定是整数)，且取整数分别赋给x和y。若满足x+y==n且 x*y==m，则输出“Yes”，否则输出“No”。

(2)源程序。

#include

#include

int main()

{

int n,m,dlt,x,y;

while (1)

{

scanf("%d%d",&n,&m);

if (n==0 && m==0) break;

dlt=n*n-4*m;

if (dlt<0)

printf("No\n");

else if (dlt==0)

printf("Yes\n");

else

{

x=(n+(int)sqrt(1.0*dlt))/2;

y=(n-(int)sqrt(1.0*dlt))/2;

if (x+y==n && x*y==m)

printf("Yes\n");

else

printf("No\n");

}

}

return 0;

}

1-3  Distance on Chessboard

本题选自北大POJ  (http://poj.org/problem?id=1657)

Description

国际象棋的棋盘是黑白相间的8 * 8的方格，棋子放在格子中间。如下图所示：

王、后、车、象的走子规则如下：

王：横、直、斜都可以走，但每步限走一格。

后：横、直、斜都可以走，每步格数不受限制。

车：横、竖均可以走，不能斜走，格数不限。

象：只能斜走，格数不限。

写一个程序，给定起始位置和目标位置，计算王、后、车、象从起始位置走到目标位置所需的最少步数。

Input

第一行是测试数据的组数t(0 <= t <= 20)。以下每行是一组测试数据，每组包括棋盘上的两个位置，第一个是起始位置，第二个是目标位置。位置用"字母-数字"的形式表示，字母从"a"到"h"，数字从"1"到"8"。

Output

对输入的每组测试数据，输出王、后、车、象所需的最少步数。如果无法到达,就输出"Inf".

Sample Input

2

a1 c3

f5 f8

Sample Output

2 1 2 1

3 1 1 Inf

(1)编程思路。

本题给定一个棋盘上的起始位置和终止位置，分别判断王、后、车、象从起始位置到达终止位置需要的步数。

首先，王、后、车、象彼此独立，分别考虑就可以了。分析王、后、车、象的行走规则特点，从而推出它们从起点到终点的步数。

假设起始位置与终止位置在水平方向上的距离是 x，它们在竖直方向上的距离是y。

根据王的行走规则，它可以横、直、斜走，每步限走一格，所以需要的步数是min(x,y)+abs(x-y)。即x，y 中较小的一个加上x 与y 之差的绝对值。

根据后行走的规则，它可以横、直、斜走，每步格数不受限制，所以需要的步数是1(x 等于y 或者 x 等于0 或者 y 等于0)或者2(x 不等于y)。

根据车行走的规则，它可以横、竖走，不能斜走，格数不限，需要步数为1(x 或者y 等于0)或者2(x 和y 都不等于0)。

根据象行走得规则，它可以斜走，格数不限。棋盘上的格点可以分为两类，第一类是它的横坐标和纵坐标之差为奇数，第二类是横纵坐标之差为偶数。对于只能斜走的象，它每走一步，因为横纵坐标增加或减小的绝对值相等，所以横坐标和纵坐标之差的奇偶性无论如何行走都保持不变。因此，上述的第一类点和第二类点不能互相到达。如果判断出起始点和终止点分别属于两类点，就可以得出它们之间需要无数步的结论。如果它们属于同一类点，象从起始点走到终止点需要1(x 的绝对值等于y 的绝对值)或者2(x 的绝对值不等于y 的绝对值)。

(2)源程序。

#include

#include

int main()

{

int n;

char  begin[5], end[5];   // 用 begin 和 end 分别存储棋子的起止位置

int x, y;

scanf("%d", & n);

while( n--)

{

scanf("%s %s", begin, end);

x = abs(begin[0] - end[0]);

y = abs(begin[1] - end[1]);

if(x == 0 && y == 0)

printf("0 0 0 0\n");        // 起止位置相同，所有棋子都走0步

else{

if(x < y)printf("%d",y);     //王的步数

else printf("%d",x);

if(x == y || x == 0 || y == 0) printf(" 1");    //后的步数

else printf("2");

if(x == 0 || y == 0) printf(" 1");      //车的步数

else printf(" 2");

if(abs(x-y) % 2 != 0) printf(" Inf\n");     //象的步数

else if(x == y) printf(" 1\n");

else printf(" 2\n");

}

}

return 0;

}