c语言迭代法求立方根,谁能解释一下立方根的迭代公式,要详细的，thankyou！

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waoc0yjg8

2013.12.30

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考虑数列a(n+1)={2a(n)+a/{[a(n)]^2}}/3的性质，其中a(1)>0,a>0,a为你想求立方根的数。

1.a(n)≥a的立方根对任意n≥2成立。

证明：

a(n+1)={2a(n)+a/{[a(n)]^2}}/3

={a(n)+a(n)+a/{[a(n)]^2}}/3

≥a的立方根(用基本不等式)

2.a(n+1)≥a(n)对任意n≥2成立。

证明：

a(n+1)-a(n)

={a/{[a(n)]^2}-a(n)}/3

={a-[a(n)]^3}/{3[a(n)]^2}

≤0(由1知a-[a(n)]^3≤0)

3.a(n)极限存在。

证明：

由1.a(n)有下界(n≥2)，

由2.a(n)单调递减(n≥2)，

故a(n)极限存在。

4.a(n)极限为a的立方根。

证明：

设a(n)极限为A

在递推式

a(n+1)={2a(n)+a/{[a(n)]^2}}/3

中令n趋向无穷，得：

A=[2A+a/(A^2)]/3

解得：A为a的立方根

这样就得到了求一个大于0的数的立方根的迭代公式，而对小于0的数，求出它绝对值的立方根后加上负号就行了，对于0，立方根自然就是0了。

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