1 精确解释

1.1 因变量采用对数变换

ln(y^)=β0+β1×xln(\hat y)=\beta_0 +\beta_1 \times xln(y^)=β0+β1×x
x→x+1;y^1→y^2x \to x+1; \hat y_1 \to \hat y_2x→x+1;y^1→y^2

{y^1=eβ0+β1×xy^2=eβ0+β1×(x+1)\begin{cases} \hat y_1=e^{\beta_0 +\beta_1 \times x}\\ \hat y_2=e^{\beta_0 +\beta_1 \times (x+1)} \end{cases} {y^1=eβ0+β1×xy^2=eβ0+β1×(x+1)

y^2y^1=eβ0+β1×(x+1)eβ0+β1×x=e[β0+β1×(x+1)]−[β0+β1×x]=eβ1\begin{aligned} &\frac{\hat y_2}{\hat y_1}\\ &=\frac{e^{\beta_0+\beta_1 \times (x+1)}}{e^{\beta_0+\beta_1 \times x}}\\ &=e^{[\beta_0+\beta_1 \times (x+1)]-[\beta_0+\beta_1 \times x]}\\ &=e^{\beta_1} \end{aligned} y^1y^2=eβ0+β1×xeβ0+β1×(x+1)=e[β0+β1×(x+1)]−[β0+β1×x]=eβ1

结论

xxx每增加一个单位变为x+1x+1x+1，y^\hat yy^变为原来的eβ1e^{\beta_1}eβ1倍
xxx每增加一个单位变为x+1x+1x+1，y^\hat yy^相比原来增加[eβ1−1]×100%[e^{\beta_1}-1]\times 100\%[eβ1−1]×100%

1.2 自变量采用对数变换

y^=β0+β1×ln(x)\hat y=\beta_0+\beta_1 \times ln(x)y^=β0+β1×ln(x)
x→e×x;y^1→y^2x \to e\times x; \hat y_1 \to \hat y_2x→e×x;y^1→y^2
{y^1=β0+β1×ln(x)y^2=β0+β1×ln(e×x)\begin{cases} \hat y_1=\beta_0+\beta_1 \times ln(x)\\ \hat y_2=\beta_0+\beta_1 \times ln(e \times x) \end{cases} {y^1=β0+β1×ln(x)y^2=β0+β1×ln(e×x)

y^2−y^1=[β0+β1×ln(e×x)]−[β0+β1×ln(x)]=[β0+β1×(ln(e)+ln(x))]−[β0+β1×ln(x)]=[β0+β1×ln(e)+β1×ln(x)]−[β0+β1×ln(x)]=β1×ln(e)=β1\begin{aligned} &\hat y_2-\hat y_1 \\ &=[\beta_0+\beta_1 \times ln(e \times x)]-[\beta_0+\beta_1 \times ln(x)]\\ &=[\beta_0+\beta_1 \times (ln(e)+ln(x))]-[\beta_0+\beta_1 \times ln(x)]\\ &=[\beta_0+\beta_1 \times ln(e)+\beta_1 \times ln(x)]-[\beta_0+\beta_1 \times ln(x)]\\ &=\beta_1 \times ln(e)\\ &=\beta_1 \end{aligned} y^2−y^1=[β0+β1×ln(e×x)]−[β0+β1×ln(x)]=[β0+β1×(ln(e)+ln(x))]−[β0+β1×ln(x)]=[β0+β1×ln(e)+β1×ln(x)]−[β0+β1×ln(x)]=β1×ln(e)=β1
结论

xxx变为原来的eee倍后，则y^\hat yy^增加β1\beta_1β1
如果使用以2为底的对数变换，则xxx变为原来的2倍后，y^\hat yy^增加β1\beta_1β1

1.3 因变量和自变量同时采用对数变换

ln(y^)=β0+β1×ln(x)ln(\hat y)=\beta_0 +\beta_1\times ln(x)ln(y^)=β0+β1×ln(x)
x→k×x;y^1→y^2x \to k \times x; \hat y_1 \to \hat y_2x→k×x;y^1→y^2
{y^1=eβ0+β1×ln(x)y^2=eβ0+β1×ln(k×x)\begin{cases} \hat y_1=e^{\beta_0+\beta_1\times ln(x)}\\ \hat y_2=e^{\beta_0+\beta_1\times ln(k \times x)} \end{cases} {y^1=eβ0+β1×ln(x)y^2=eβ0+β1×ln(k×x)

y^2y^1=eβ0+β1×ln(k×x)eβ0+β1×ln(x)=e[β0+β1×ln(k×x)]−[β0+β1×ln(x)]=e[β0+β1×ln(k)+β1×ln(x)]−[β0+β1×ln(x)]=eβ1×ln(k)=[eln(k)]β1=kβ1\begin{aligned} &\frac{\hat y_2}{\hat y_1}\\ &=\frac{e^{\beta_0+\beta_1\times ln(k \times x)}}{e^{\beta_0+\beta_1\times ln(x)}}\\ &=e^{[\beta_0+\beta_1\times ln(k \times x)]-[\beta_0+\beta_1\times ln(x)]}\\ &=e^{[\beta_0+\beta_1 \times ln(k)+\beta_1 \times ln(x)] - [\beta_0+\beta_1\times ln(x)]}\\ &=e^{\beta_1 \times ln(k)}\\ &=[e^{ln(k)}]^{\beta_1}\\ &=k^{\beta_1} \end{aligned} y^1y^2=eβ0+β1×ln(x)eβ0+β1×ln(k×x)=e[β0+β1×ln(k×x)]−[β0+β1×ln(x)]=e[β0+β1×ln(k)+β1×ln(x)]−[β0+β1×ln(x)]=eβ1×ln(k)=[eln(k)]β1=kβ1
结论

xxx变为原来的kkk倍，y^\hat yy^变为原来的kβ1k^{\beta_1}kβ1倍
xxx变为原来的kkk倍，y^\hat yy^增加[kβ1−1]×100%[k^{\beta_1} - 1]\times 100\%[kβ1−1]×100%

2 粗略解释

2.1 eβ−1e^{\beta} - 1eβ−1与β\betaβ的关系

library(ggplot2)
library(latex2exp)x <- seq(0, 0.5, 0.001)
y1 <- x
y2 <- exp(x) - 1
df <- data.frame(x = x, y1 = y1, y2 = y2)ggplot(data = df) +geom_line(aes(x = x, y = y1, color = "beta"), size = 1) +geom_line(aes(x = x, y = y2, color = "exp(beta)-1"), size = 1) +labs(x = TeX('$\\beta$'), y = "Y") + theme_classic()

结论

当β\betaβ较小时，eβ−1e^{\beta}-1eβ−1与β\betaβ的值接近

2.2 因变量采用对数变换

lnY=β1+β2tlnY=\beta_1+\beta_2tlnY=β1+β2t
β2=d(lnY)dt=dY/Ydt\beta_2=\frac{d(lnY)}{dt}=\frac{dY/Y}{dt}β2=dtd(lnY)=dtdY/Y
总结

β2\beta_2β2测度了YYY的瞬时变化率
β2\beta_2β2可粗略解释为：ttt每增加1个单位，YYY增加β2×100%\beta_2 \times 100\%β2×100%，如年均增长率。（eβ2−1≈β2e^{\beta_2}-1\approx\beta_2eβ2−1≈β2；当β2\beta_2β2较小时）

2.3 自变量采用对数变换

Y=β1+β2×lnxY=\beta_1+\beta_2 \times lnxY=β1+β2×lnx
β2=dYd(lnx)=dYdx/x\beta_2=\frac{dY}{d(lnx)}=\frac{dY}{dx/x}β2=d(lnx)dY=dx/xdY
总结

β2\beta_2β2测度了xxx轻微变化（百分比变化）后YYY的绝对变化量
β2\beta_2β2可粗略解释为：当xxx变化1%1\%1%时，YYY绝对变化0.01×β20.01\times \beta_20.01×β2

2.4 因变量和自变量同时采用对数变换

ln(Y)=β1+β2×lnxln(Y)=\beta_1 +\beta_2\times lnxln(Y)=β1+β2×lnx
β2=d(lnY)d(lnx)=dY/Ydx/x\beta_2=\frac{d(lnY)}{d(lnx)}=\frac{dY/Y}{dx/x}β2=d(lnx)d(lnY)=dx/xdY/Y
总结

β2\beta_2β2测度了YYY对xxx的弹性，如YYY为某商品的需求量，xxx为该商品价格，β2\beta_2β2为需求的价格弹性
β2\beta_2β2可粗略解释为：xxx变动1%1\%1%引起YYY变动的百分数

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