matlab画本征函数系,双势垒结构能量本征值和本征波函数系数的MATLAB计算

云光技术第 45卷第 2期双势垒结构能量本征值和本征波函数系数的 MATLAB计算王忆锋 (昆明物理研究所，云南昆明 650223) 摘要：晶体中的电子状态可以用波函数来描述。从计算角度来看，必须知道能量本征值以及波函数的系数才能确定波函数的具体形态。在计算一维方势阱束缚态能量本征值时，基于边界连续性条件，可将相关波函数展开为一个以矩阵形式描述的线性方程组。根据能量本征值必须满足该方程组的系数行列式等于零的要求，在能量区间内逐点扫描，即可确定相应的能量本征值，由此进一步确定波函数的系数。该方法不需要花费较多精力编程，具有概念简单、使用方便、实用性强等特点。关键词：半导体；能量本征值；薛定谔方程；波函数系数中图分类号：0471．1 文献标识码：A 0 引言晶体中的电子状态可以用波函数来描述。从计算角度来看，必须知道能量本征值以及波函数的系数才能确定波函数的具体形态。本文以双势垒结构为例，介绍了利用 MATLAB计算能量本征值及本征波函数系数的方法。 1 势能函数坐标系的选取与波函数界面连续性条件一维方势阱可以视为一个双势垒结构。有关计算途径或计算结果的表达形式会因势能函数坐标系的不同取法而异。被限制在势阱中运动的粒子所处的状态称为束缚态。由于一维束缚态是非简并的，故在一个对称势中，每一个束缚态必须是偶宇称的，或者是奇宇称的L1 ；两者对应的是数学中偶函数触)= ～ )和奇函数 )=一触 )的概念。换言之，波函数可以是偶函数，也可以是奇函数，前提是首先构成一个满足 )一 -x)关系的对称势场。例如在图 1(a)中，势阱的势能函数 )是关于纵轴对称的，因此可以利用宇称性质；而在图 l(b) 选择的坐标系下，势阱中的势能函数 ) 则不是关于纵轴对称的。它们的数学表达式可以写为： f <0) ( )={0 (0≤x 口) I > ) f 口／2) f11 一般情况下，界面连续性条件为： I ( )= +l(X ) { ’ ( )一(／9tj+1( ) 【 + f21 式(2)是能量本征值及本征函数计算的基础。 2013笠云光技术第 45卷第 2期 ) + I I ：2 - a／2 0 a／2 (a) 一一一一 ) + 2 0 a (b) 一一一一图 1 一维方形势阱坐标轴的 2种取法 2 称性质求解波函数 cI勺台皂量求出解M 为 ATLAB的 dso 可以本征值～一～为了利用宇称性质，坐标系取图 1(a) ( ) sin( )+ c。 ( ) (6) 的形式。这时两个势垒区中的薛定谔方程考虑到波函数的有界性，各区域的波为：函数有下列形式： d2( , o 一砰 =。： 2=x／2mb(E-Vo) {仍(x)=Clexp(klx) 乏荔式中：h 为普朗克常数；mb为势垒中的粒子有效质量；E 为入射粒子能量。利用 MATLAB的 dsolve()命令，可以求出其通解为： ( )=cl exp(~x)+CE exp(一k,x) (4) 式中：cl、c2为待定系数。势阱中的波函数满足下列薛定谔方程 2 +砖㈣： — 2~x／2 — mwE h 式中：势阱中的波函数仍(x)适于利用宇称性质。对于偶态波函数，有 ∽ ： (一，相应地，C3：0

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