1 问题描述

约瑟夫环（约瑟夫问题）是一个数学的应用问题：已知 n 个人（以编号1，2，3…n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为 k 的人开始报数，数到 m 的那个人出圈；他的下一个人又从 1 开始报数，数到 m 的那个人又出圈；依此规律重复下去，直到剩余最后一个胜利者。

例如：有10个人围成一圈进行此游戏，每个人编号为 1-10 。若规定数到 3 的人出圈。则游戏过程如下。

（1）开始报数，第一个数到 3 的人为 3 号，3 号出圈。
  1， 2， 【3】， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10。
（2）从4号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为6号，6号出圈。
  1， 2， 【3】， 4， 5， 【6】， 7， 8， 9， 10。
（3）从7号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为9号，9号出圈。
  1， 2， 【3】， 4， 5， 【6】， 7， 8， 【9】， 10。
（4）从10号重新从1开始计数，由于10个人称环形结构，则接下来数到3的人为2号，2号出圈。
  1， 【2】， 【3】， 4， 5， 【6】， 7， 8， 【9】， 10。
（5）从4号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为7号，7号出圈。
  1， 【2】， 【3】， 4， 5， 【6】， 【7】， 8， 【9】， 10。
（6）从8号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为1号，1号出圈。
  【1】， 【2】， 【3】， 4， 5， 【6】， 【7】， 8， 【9】， 10。
（7）从4号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为8号，8号出圈。
  【1】， 【2】， 【3】， 4， 5， 【6】， 【7】， 【8】， 【9】， 10。
（8）从10号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为5号，5号出圈。
  【1】， 【2】， 【3】， 4， 【5】， 【6】， 【7】， 【8】， 【9】， 10。
（9）从10号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为10号，10号出圈。
  【1】， 【2】， 【3】， 4， 【5】， 【6】， 【7】， 【8】， 【9】， 【10】。
（10）最终剩余 4 号，4 号为胜利者。

2 数组求解

2.1 解题思想

用数组求解的基本思想就是用一个一维数组去标识这 n 个人的状态，默认全为 1 ，也就是都在圈子内，当数到 m的人出圈之后，标识置为 0（就是出圈了），同时报数器清 0，下一个人要从 1 开始。在每次报数之前要判断他是否在圈子内（也就是他的标识是否为 1 ），如果在圈子里面才会继续报数。定义一个变量记录出圈的人数， 出圈的人数等于  n-1 时，则游戏结束。

2.2 代码实现

#include<stdio.h>#define N 1000000 //记录玩游戏最大人数int flag【N】 = {0};int main(){    int n = 0, m = 0;    scanf("%d%d", &n, &m);//输入玩游戏人数和计数m    int i = 0;    int count = 0;  //记录已经出圈的人数    int num = 0;    //报数器    for(i = 1; i <= n; i++) {        flag【i】 = 1;//所有人入圈    }    while(count < n - 1) {        for(i = 1; i <= n; i++ ) {            if (1 == flag【i】) {//在未出圈的人数中计数                num++;                if(num == m) {//此人数到m则出圈                    printf("%d\n", i);                    count++;//出圈人数加1                    flag【i】 = 0;//出圈                    num = 0;                }                if(count == n - 1) {                    break;                }            }        }    }    for(i = 1; i <= n; i++) {        if(1 == flag【i】) {//输出赢家，标识为1            printf("The last one is : %d\n", i);        }    }    return 0;}

3 循环链表求解

3.1 解题思想

约瑟夫环问题可以转化为循环链表的数据结构来求解。可以将每个人看做链表的单个节点，每个节点之间通过链表的 next 指针连接起来，并且将链表末尾节点指向头节点就形成的环，由链表构成的环形结构在数据结构中称为循环链表。

3.2 代码实现

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>

/*声明一个链表节点*/typedef struct node  {    int number;//数据域，存储编号数值    struct node *next;//指针域，指向下一个节点}Node;

/*创建链表节点的函数*/ Node* CreatNode(int x) {    Node *p;    p = (Node*)malloc(sizeof(Node));    p->number = x;//将链表节点的数据域赋值为编号    p->next = NULL;    return p;}

/*创建环形链表，存放整数1到n*/Node* CreatJoseph(int n) {    Node *head,*p,*q;    int i;    for(i = 1;  i <= n; i++)    {        p = CreatNode(i);//创建链表节点，并完成赋值        if(i == 1)//如果是头结点            head = p;        else//不是头结点，则指向下一个节点            q->next = p;            q = p;    }    q->next = head;//末尾节点指向头结点，构成循环链表    return head;}

/*模拟运行约瑟夫环，每数到一个数，将它从环形链表中删除，并打印出来*/void RunJoseph(int n,int m) {    Node *p,*q;    p = CreatJoseph(n);//创建循环链表形式的约瑟夫环    int i;    while(p->next != p)//循环条件，当前链表数目大于1    {        for(i = 1; i < m-1; i++)//开始计数        {            p = p->next;        }        //第m个人出圈        q = p->next;        p->next = q->next;        p = p->next;        printf("%d--",q->number);//输出出圈的序号        free(q);    }    printf("\n最后剩下的数为：%d\n",p->number);}

int main(){    int n,m;    scanf("%d %d",&n,&m);    RunJoseph(n,m);    return 0;}

4 递推公式求解

4.1 解题思想

约瑟夫环中，每当有一个人出圈，出圈的人的下一个人成为新的环的头，相当于把数组向前移动 m 位。若已知 n-1 个人时，胜利者的下标位置位 f(n−1,m) ，则 n 个人的时候，就是往后移动 m 位，(因为有可能数组越界，超过的部分会被接到头上，所以还要模 n )，根据此推导过程得到的计算公式为：
  f(n,m) = (f(n−1,m) + m) % n。
其中，f(n,m) 表示 n 个人进行报数时，每报到 m 时杀掉那个人，最终的编号，f(n−1,m) 表示，n-1 个人报数，每报到 m 时杀掉那个人，最终胜利者的编号。有了递推公式后即可使用递归的方式实现。

4.2 递归代码实现

#include <stdio.h>int Joseph(int n,int m)/*计算约瑟夫环的递归函数*/{    if(n <= 1 || m <= 1)//设置游戏人数限定值        return -1;

    if(n == 2)//设置边界值    {        if(m % 2 == 0)            return 1;        else            return 2;    }    else    {        return (Joseph(n-1,m) + m-1) % n+1;//递归调用    }}

int main(){    int n,m,x;    scanf("%d %d",&n,&m);    x=Joseph(n,m);    printf("最后一个数为：%d\n",x);    return 0;}

4.3 迭代代码实现

#include <stdio.h>/*计算约瑟夫环问题的迭代法函数*/int Joseph(int n,int m){    int i;    int x,y;    if(n <= 1 || m <= 1)        return -1;    if(m % 2 == 0)        y = 1;    else        y = 2;

    for(i = 3; i <= n; i++)    {        x = (y-1 + m) % i + 1;        y = x;    }    return y;}

int main(){    int n,m,x;    scanf("%d %d",&n,&m);    x = Joseph(n,m);    printf("最后一个的编号是：%d\n",x);    return 0;}

实际应用

比如你们公司需要团建，你可以设计这个游戏，根据游戏人数的多少，将你和你心仪的妹子安排在合适的座位上，一同进最后的决赛圈~

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