3 子空间

类似集合里面子集的概念，但是更复杂一点。

3.1 子空间定义

设V是数域F上的线性空间，W是V的子集，若对W中的任意元素 $\alpha ,\beta$ ，及 $k\in F$ ，按V中的加法和数乘有：

$\alpha +\beta \in W$ ;
$k\alpha \in W$ .

则W也是数域F上的线性空间，称W为V的线性子空间（简称子空间）。

1）由单个零元素组成的子集{ $O$ }是线性子空间；
2）线性空间V本身也是自己的线性子空间；

{ $O$ }与V是称为V的平凡子空间，dim{ $O$ }=0（因为 $O$ 是线性相关的，又找不到线性无关的向量）。

3.2 常见的子空间

3.2.1

设A是一给定的 $m\times n$ 实矩阵，记

$N(A) \triangleq\left\{x \in \mathbb{R}^{n} | A x=0\right\}$ (1)

$R(A) \triangleq\left\{A x | x \in \mathbb{R}^{n}\right\}$ (2)

则N(A)是 $\mathbb{R}^{n}$ 的子空间，称为A的零空间；

则R(A)是 $\mathbb{R}^{m}$ 的子空间，称为A的列空间。

$\begin{array}{l}{\operatorname{dim} N(A)=n-\operatorname{rank} A=n-r} \\ {\operatorname{dim} R(A)=\operatorname{rank} A=r}\end{array}$

$\operatorname{rank} A$ 表示矩阵A的秩。

看懂下面这个例题，就很好理解这两个概念了。

例1:

1）方程组Ax=0的基础解系就是零空间N（A）的基

因为

所以rank(A)=2，所以dimN(A)=4-2=2

解得方程组Ax=0的基础解系：

所以 $x_{1},x_{2}$ 是N(A)的基， $N(A)=\operatorname{span}\left\{x_{1}, x_{2}\right\}$

2）因为rank(A)=2，所以dimR(A)=2

由上矩阵化简结果可知，是矩阵A列向量的加大线性无关组。

所以 $A_{1},A_{2}$ 是N(A)的基， $R(A)=\operatorname{span}\left\{A_{1},A_{2}\right\}$

3.2.2

设 $\left\{\alpha_{1}, \quad \alpha_{2}, \cdots, \quad \alpha_{r}\right\}$ 是线性空间V的一向量组，记

$\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}\right\}=\left\{\alpha=\sum_{i=1}^{r} k_{i} \alpha_{i} | k_{1}, \quad k_{2}, \cdots, k_{r} \in F\right\}$ (3)

则 $\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}\right\}$ 是V的子空间，称为由 $\left\{\alpha_{1}, \quad \alpha_{2}, \cdots, \quad \alpha_{r}\right\}$ 张成的子空间。

上面这个记号解决了抽象线性空间中子集（即子空间）的描述。

1）若 $\left\{\alpha_{1}, \quad \alpha_{2}, \cdots, \quad \alpha_{m}\right\}$ 是子空间W的基，则有 $W=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right\}$ (4)

2）设 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，记 $A=\left[A_{1}, \quad A_{2}, \ldots, A_{n}\right]$ ，其中 $A_{i} \in \mathbb{R}^{m}, \quad i=1,2, \cdots, n$

则有 $\begin{aligned} \boldsymbol{R}(\boldsymbol{A}) &=\left\{A x | x \in \mathbb{R}^{n}\right\} =\operatorname{span}\left\{A_{1}, \quad A_{2}, \cdots, A_{n}\right\} \end{aligned}$ (5)

（这里不是太懂，个人理解如下：A_{i}是矩阵第i列，一个 $\mathbb{R}^{m}$ 的向量，x是一个 $\mathbb{R}^{n}$ 的向量，而Ax展开就是 $x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+...+x_{n}A_{n}$ ，就是张成的子空间的表达式，如公式（3）所示，所以就等于 $\left\{A_{1}, \quad A_{2}, \cdots, A _{n}\right\}$ 张成的一个子空间，记为 $\operatorname{span}\left\{A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}\right\}$ ）

极大线性无关组的个数等于矩阵的秩，R的维数等于矩阵的秩。

3.3 基扩张定理

定理：设 $\left\{\alpha_{1}, \quad \alpha_{2}, \cdots, \quad \alpha_{r}\right\}$ 是 $V^{n}$ 中一组线性无关向量，则存在 $V^{n}$ 中n-r个向量 $\alpha_{r+1}, \quad \alpha_{r+2}, \cdots, \quad \alpha_{n}$ ，使得

$\left\{\alpha_{1}, \quad \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \alpha_{r+1}, \quad \alpha_{r+2}, \cdots, \quad \alpha_{n}\right\}$ 构成 $V^{n}$ 的基。

通俗理解就是：通过少数线性无关向量，可以扩张成一组空间的基。

3.4 和空间与交空间

设 $W_{1}$ 与 $W_{2}$ 均是线性空间 $V^{n}$ 的子空间。

$W_{1}\cup W_{2}$ 不是线性空间 $V^{n}$ 的子空间；
$W_{1}\cap W_{2}$ 是线性空间 $V^{n}$ 的子空间。

并运算得到结果并不是子空间，所以引出了一个新的概念：和空间。

3.4.1 定义

定义：设 $W_{1}$ 与 $W_{2}$ 均是线性空间 $V^{n}$ 的子空间，令（W1和W2中间是“且”字）

$\begin{array}{l}{\text { 1) } W_{1} \cap W_{2}=\left\{\alpha \in V | \alpha \in W_{1} \mathbb{B} \alpha \in W_{2}\right\}} \\ {\text { 2) } W_{1}+W_{2}=\left\{\alpha \in V | \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \quad \alpha_{1} \in W_{1}, \alpha_{2} \in W_{2}\right\}}\end{array}$

称 $W_{1}\cap W_{2}$ 为 $W_{1}$ 与 $W_{2}$ 的交空间；

称 $W_{1}+ W_{2}$ 为 $W_{1}$ 与 $W_{2}$ 的和空间。

注：1） $W_{1}+ W_{2}$ 是V的子空间；

2）设 $W_{1}=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{r}\right\}$ ， $W_{2}=\operatorname{span}\left\{\beta_{1}, \ldots, \beta_{m}\right\}$ ，则有 $W_{1}+W_{2}=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{r}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{m}\right\}$

3.4.2 维数公式

1) 设 $W_{1}$ 与 $W_{2}$ 均是线性空间 $V^{n}$ 的子空间，则有 $\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)=\operatorname{dim}\left(W_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{2}\right)$

2) 和空间 $W_{1}+ W_{2}$ 中的向量一定可以分解成两个向量之和，其中一个向量属于 $W_{1}$ ，另一个向量属于 $W_{2}$ ，即

$\begin{array}{l}{\forall \xi \in W_{1}+W_{2}, \exists \alpha_{1} \in W_{1}, \quad \alpha_{2} \in W_{2}} \\ {\text { s.t. } \xi=\alpha_{1}+\alpha_{2}}\end{array}$

注：这种分解不是唯一，如果要唯一就是下一节提出的概念——直和。

3.5 直和

3.5.1 定义

设 $W_{1}+ W_{2}$ 中的任一向量只能唯一地分解为 $W_{1}$ 中的一个向量与 $W_{2}$ 中的一个向量之和，则称 $W_{1}+ W_{2}$ 为 $W_{1}$ 与 $W_{2}$ 的直和，记为 $W_{1} \oplus W_{2}$ 。（公式1）W1和W2中间是“且”字）

$\begin{array}{l}{\text { 1) } W_{1} \cap W_{2}=\left\{\alpha \in V | \alpha \in W_{1} \cap \alpha \in W_{2}\right\}} \\ {\text { 2) } W_{1}+W_{2}=\left\{\alpha \in V | \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \quad \alpha_{1} \in W_{1}, \quad \alpha_{2} \in W_{2}\right\}}\end{array}$

称 $W_{1}\cap W_{2}$ 为 $W_{1}$ 与 $W_{2}$ 的交空间；

称 $W_{1}+ W_{2}$ 为 $W_{1}$ 与 $W_{2}$ 的和空间。

3.5.2 直和等价条件

$\begin{array}{l}{\text { 1) } W_{1}+W_{2}=W_{1} \oplus W_{2}} \\ {\text { 2) } W_{1} \cap W_{2}=\{O\}} \\ {\text { 3) } \operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right)=\operatorname{dim}\left(W_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{2}\right)}\end{array}$

$\text { 4) } \boldsymbol{O}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \quad \alpha_{1} \in W_{1}, \quad \alpha_{2} \in W_{2}$ ，则有 $\alpha_{1}=\boldsymbol{O}, \quad \alpha_{2}=\boldsymbol{O}$

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