如何获取某个坍缩后的值在不同坐标系统中的位置

十进制

一个十进制数 372，可以通过如下方式单独取出 3、7、2 三个数
372 % 10 = 2 372 / 10 % 10 = 7 372 / 10 / 10 % 10 = 3 \begin{aligned} 372 \% 10 = 2 \\ 372 / 10 \% 10 = 7 \\ 372 / 10 / 10 \% 10 = 3 \end{aligned} 372%10=2372/10%10=7372/10/10%10=3

在十进制系统中，372 可以看成 10 × 10 × 10 坐标系中的某个点，乘法表示一种维度的提升，所以这是一个三维的系统，取模运算可以提取当前维度的值，除法运算可以降低维度，通过这两者的组合，可以提取出任意一个维度的坐标值。

非十进制

假设是一个 7进制系统，那么 372 可以表示为 7 × 7 × 7 × 7 坐标系中的某个点（因为 7 3 < 372 7^3 < 372 73<372），通过相同的方法（取模用于提取当前维度的值，除法用于降低维度），可以提取出每个维度中的坐标值。
372 % 7 = 1 372 / 7 % 7 = 4 372 / 7 / 7 % 7 = 0 372 / 7 / 7 / 7 % 7 = 1 \begin{aligned} 372 \% 7 = 1 \\ 372 / 7 \% 7 = 4 \\ 372 / 7 / 7 \% 7 = 0\\ 372 / 7 / 7 / 7 \% 7 = 1 \end{aligned} 372%7=1372/7%7=4372/7/7%7=0372/7/7/7%7=1

所以最终结果是1041（从下往上取值）。

不规则的系统

无论十进制还是七进制，每个维度的值都是相同的，如果有一个 m × n 的坐标系，该如何确定某个值在每个坐标上的值呢？可以使用同样的方法，假设一个 8 × 9 的坐标系，可以把 8 当作维度信息，9 当作进制信息。对于某个具体的数，64，我们先取最低位的值，通过 64 % 9 = 1 64 \% 9=1 64%9=1 得到，然后在取另一个维度的值，通过降维再取模得到 64 / 9 % 8 = 7 64/9\%8=7 64/9%8=7，所以 64 对应的坐标值为71。表示 64 = 7 ∗ 9 1 + 1 ∗ 8 0 64 = 7 * 9^1 + 1*8^0 64=7∗91+1∗80。如果是一个 9 × 8 的坐标系，则 64 对应的值为 80 = 8 × 8 1 + 0 × 9 0 80=8\times8^1+0\times9^0 80=8×81+0×90。所以取的坐标系不同，所得到的值也不同。

总结

对于一个 a 1 × a 2 × . . . × a n a_1 \times a_2 \times ... \times a_n a1×a2×...×an的坐标系，通过如下方式确定某个坍缩后的值 X X X 在该坐标系中的取值 ( A 1 , A 2 , . . . , A n ) (A_1,A_2,...,A_n) (A1,A2,...,An)
A n = X % a n A n − 1 = X / a n % a n − 1 . . . A 1 = X / a n / a n − 1 / . . . / a 2 % a 1 \begin{aligned} A_n &= X \%a_n \\ A_{n-1}&=X/a_n\%a_{n-1} \\ ... \\ A_1&=X/a_n/a_{n-1}/.../a_2\%a_1 \end{aligned} AnAn−1...A1=X%an=X/an%an−1=X/an/an−1/.../a2%a1

除法运算可以降低维度，取模运算可以提取当前维度的值，通过这两者的组合，可以最终确定某个值 X 在该坐标系中的位置