北斗导航 | GNSS整周模糊度：ratio-test：重新定义一种更好的测试方法（P.J.G. Teunissen）：LAMBDA
2024-05-09 08:40:19
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github：https://github.com/MichaelBeechan
CSDN：https://blog.csdn.net/u011344545
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Peter J.G. Teunissen
- Teunissen教授是荷兰皇家科学院（KNAW）院士、澳大利亚联邦科学院院士、拜仁科学院（DGK）外籍院士、国际大地测量协会（IAG）荣誉会员、国际知名的大地测量学者、GNSS领域专家、世界上被引用频次最高的大地测量学家之一。Teunissen于1985年获博士学位、1988年成为当时荷兰最年轻的全职教授，获得过包括国际大地测量协会最高奖Bomford奖，Alexander von Humboldt奖，澳大利亚科研界最高奖—联邦奖学金奖等奖项。他参与并推动了中国的“北斗”导航系统建设及中-荷、中-澳联合研究中心建设，在精密卫星定位技术、基础大地测量学理论体系创新和推动地理空间基础设施建设等方面对测地所科研领域的创新和我国大地测量学的发展做出了突出贡献。
- 世界上被引用频次最高的卫星导航学家之一，是高精度卫星导航核心算法LAMBDA的发明人，该算法革命性的提升了卫星导航系统的高精度导航能力，其应用领域包括航空航天以及多种军用、民用场景，是目前高精度卫星导航领域的工业标准。他在荷兰TU Delft大学获得博士学位，他获得的荣誉包括：
- 荷兰皇家科学院（KNAW）院士（2000年）
- 中国科学院荣誉博士（2014年）
- 北京航空航天大学荣誉教授（2018年）
- 代尔夫特理工大学航空航天名人堂（2005年）
- 国际大地测量学会IAG会士（1997年）
- 除此以外，P.J.G.Teunissen还是整数统计理论的奠基人，他的研究成果包括去相关理论、搜索边界、搜索成功率等多个方面，为卫星导航系统以及其他存在整数模糊度问题的相关领域奠定了理论基础。他曾经担任Journal of Geodesy主编，并且是包括GPS Solutions 在内的10个国际著名期刊的编委成员，出版了7本专著和超过250篇学术文章。
论文：THE GNSS AMBIGUITY RATIO-TEST REVISITED: A BETTER WAY OF USING IT
- 整周载波相位模糊度解算是全球导航卫星系统（GNSS）快速、高精度定位和应用的关键。除了整周估计，ratio-test测试也是模糊度固定过程的一部分。
- 在此，我们讨论了比值检验（ratio-test）的一些误解，特别指出比值(ratio)检验不是检验整数最小二乘解正确性的检验。实验证明了常用的具有固定临界值的ratio检验存在缺陷。相反，建议采用固定故障率方法——这种方法是更一般的整数孔径估计理论的一部分，能够确保故障率不超过用户定义的值。
- 最后，通过实例说明了固定故障率试验的结果和改进后的性能。
引言
- 整数载波相位模糊度解算是快速、高精度GNSS定位和导航的关键。这是将双差载波相位数据的未知周期模糊度作为整数进行求解的过程。一旦成功求解固定，非常精确的载波相位数据将用作伪距数据，从而使非常精确的定位和导航成为可能。
- 全球导航卫星系统模糊度解决适用于当前和未来各种GPS、现代化GPS和伽利略模型，并应用于测量、导航、大地测量和地球物理。这些模型在复杂性和多样性方面可能有很大差异。它们从用于运动学定位的单基线模型到用作研究地球动力学现象的多基线模型。模型可以包括或可以不包括接收机到卫星的相对几何形状。还可以从接收机是静止的还是运动的进行分类，或者是否将差分大气延迟（电离层和对流层）作为未知。这些模型的概述可以在教科书[12]、[13]、[8]、[10]、[11]中找到。
GNSS模糊度固定从概念上可分为四步：
- In the first step, one discards the integer nature of the ambiguities and performs a standard least-squares adjustment. As a result one obtains the so-called float solution of all the parameters (i.e. ambiguities, baseline components, and possibly additional parameters such as atmospheric delays), together with their variance-covariance matrix.
- 第一步，放弃模糊度的整数性质，并执行标准最小二乘调节。因此，可以获得所有参数（即模糊度、基线分量，以及可能的其他参数，如大气延迟）的所谓浮动解及其方差协方差矩阵。
- In the second step, the real-valued float solution of the ambiguities is further adjusted, so as to take the integer constraints into account. As a result one obtains an integer solution for the ambiguities. Integer rounding, integer bootstrapping and integer least-squares are different methods for obtaining the integer solution. Integer least-squares (ILS) is optimal, as it can be shown to maximize the probability of correct integer estimation, [15]. In contrast to rounding and bootstrapping, an integer search is needed to compute the ILS solution. This can efficiently be done with the LAMBDA method, [14].
- 第二步，进一步调整模糊度的实数浮点解，并考虑整数约束。得到模糊度的整数解。Integer rounding、integer bootstrapping 和 integer least-squares是获得整数解的不同方法。整数最小二乘（ILS）是最优的，因为它可以最大化校正整数估计的概率，[15]。与rounding 和 bootstrapping不同，需要整数搜索来计算ILS解。这可以用LAMBDA方法有效地完成，[14]。
- Once the integer ambiguities are computed, they are used in the third step as input to decide whether or not to accept the integer solution. Several such tests have been proposed in the literature and are currently in use in practice [1] – [7], [9], [20], [25]. Examples are the ratio-test, the distance-test and the projector-test. A review and evaluation of these tests can be found in [22].
- 一旦计算了整数模糊度，它们将在第三步中用作输入，以决定是否接受整数解。文献[1]–[7]、[9]、[20]、[25]中提出了几种此类目前在实践中使用的test。例如ratio-test比率测试、distance-test距离测试和projector-test投影仪测试。这些测试的评估见[22]。
- Once the integer solution is accepted, the fourth step consists of correcting the float solution of all other parameters by virtue of their correlation with the ambiguities. As a result one obtains the so-called fixed solution. Provided a correct decision has been made in the third step, the fixed solution will have a precision that is in accordance with the high precision of the phase data.
- 一旦整数解被接受，第四步根据所有其他参数与模糊度的相关性，校正所有其他参数的浮点解。从而得到固定解。如果在第三步中提供了正确的固定解，固定解的精度将与相位数据的高精度一致。
- In this contribution we focus attention on the third step and in particular study the properties and use of the popular ratio-test.
- 这篇文章主要研究第三步
RATIO TEST：比率测试：最常用的经验值是3
- 整周模糊度固定(Ambiguity resolution, AR)中，比较常用的方法是LAMBDA算法。计算所有候选模糊度组合的残差，通过比较次优和最优模糊度组合的残差，如果比值（AR ratio）大于某个门限，则认为该最优模糊度是真正的模糊度。通常ratio越大，那么模糊度解的可靠性就越高。
- 参考：https://rtklibexplorer.wordpress.com/2021/07/22/a-variable-ambiguity-resolution-threshold-for-rtklib/
- 在本节中，我们给出了传统比率测试的定义，并指出了与此测试相关的一些误解。
- 比率测试定义如下。设浮点模糊度向量及其方差矩阵为
- 需要解决问题：
One motivation that is often given for the use of the ratio-test, is that it tests the
correctness of the ILS-solution. This is, however, incorrect as one can add an arbitrary
integer vector to the float solution without altering the outcome of the ratio-test.
Hence, biases of arbitrary size (provided that they are integer) can be present in the
float solution, without them ever being noticed by the ratio-test. - 使用比率测试的一个motivation 是，它测试ILS解的正确性。然而，这是不正确的，因为可以在不改变比率测试结果的情况下将任意整数向量添加到浮点解中。因此，任意大小的偏差（前提是它们是整数）可以存在于浮点解中，而不会被比率测试注意到。
- 其他内容参考论文：THE GNSS AMBIGUITY RATIO-TEST REVISITED: A BETTER WAY OF USING IT，后续更新。。。。
rtklib中的resamb_LAMBDA函数
- 根据PRN最小的卫星作为参考星，计算单差模糊度转双差模糊度的转换矩阵D。
- 输入双差模糊度及协方差矩阵，利用lambda算法固定模糊度。
- 根据矩阵反演公式，利用模糊度固定解调整其余状态参数浮点解，得到全部状态参数的固定解及协方差矩阵。
- 重塑单差模糊度，便于固定解有效性验证
- 整周模糊度的求解是GNSS高精度定位中的关键性问题，正确快速地固定整周模糊度能使GNSS的定位精度到达厘米甚至毫米级。在GNSS相对定位过程中，通过卡尔曼滤波可以求解得双差整周模糊度参数的浮点解（即小数解）及其方差-协方差矩阵，而由于整周模糊度具有整数特性，那么不管是单差整周模糊度还是双差整周模糊度都理应是整数。如何利用整周模糊度参数的浮点解及其方差-协方差矩阵，正确求得整周模糊度参数的固定解（即整数解），就是模糊度固定要解决的问题（数学问题）。
LAMBDA算法理论
- 最小二乘模糊度降相关平差法（Leastsquare AMBiguity Decorrelation Adjustment——LAMBDA）理论严密，搜索速度快，是一种被广泛采用的模糊度固定方法。该方法主要由两部分组成：（1）为降低模糊度参数之间相关性而进行的多维整数变换；（2）在转换后的空间内进行模糊度搜索，然后再将结果转换回模糊度空间中，进而求得模糊度整数解（Z变换）。
1）模糊度参数降相关
- 由于模糊度之间具有相关性，一个模糊度参数的变化会影响其他模糊度的搜索，使得搜索算法的计算量巨大。如果能够设法降低模糊度参数之间的相关性，使得某一模糊度的变化对其他模糊度的取值的影响尽可能小，就能大大加快模糊度的搜索过程。
- LAMBDA算法通过对模糊度参数及其方差-协方差阵进行整数高斯变换（也称z变换），将他们从原空间变换到新的空间中去，实现模糊度的降相关：
- a）使L矩阵中非对角线元素绝对值小于0.5
- b）使D矩阵中对角线元素降序排序
- 在实际计算中，通常从第n-1列的第一个非对角线元素（即第n行第n-1列的元素）开始，从上往下（第k行到第n行，k表示第一个非对角线元素），从右往左（第n-1列到第1列），交替进行降相关及调序操作，最终的整数变换矩阵即为所有降相关子矩阵Z及调序变换子矩阵P的乘积。
2）模糊度搜索
- 模糊度搜索与前述的降相关是LAMBDA算法的两个独立的部分，就算不做降相关操作，依然可以进行模糊度搜索，整数模糊度搜索条件（目标函数f）
- r的取值决定了超椭圆搜索区域的大小，若r取小了，最优解落在搜索区域外，无法搜索到最优解；若r取大了，搜索区域过大，搜索效率变低。LAMBDA算法里通过某种方式确定r的取值，后续的所有搜索都在固定半径的超椭圆区域中进行，这种固定半径搜索方式的效率依赖于r取值的合理性。
3）搜索子函数search()
- r的取值决定了超椭圆搜索区域的大小，若r取小了，最优解落在搜索区域外，无法搜索到最优解；若r取大了，搜索区域过大，搜索效率变低。LAMBDA算法里通过某种方式确定r的取值，后续的所有搜索都在固定半径的超椭圆区域中进行，这种固定半径搜索方式的效率依赖于r取值的合理性。
- X.W.Chang等提出MLAMBDA算法，此方法在搜索的过程中不断地缩小搜索区域的半径r，大多数情况下的搜索效率都要高于LAMBDA的搜索方式。其原理如下：
- 由理论部分，对于任一模糊度有：
MLAMBDA伪代码：
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