泛函的简单理解：

$x$ 是 $u$ 的变量， $F(x,u,{u}')$ 这样的就叫泛函 .

加个积分， $\int_{a}^{b} F(x,u,{u}') dx$ 这样的就叫积分泛函 .

欧拉 - 拉格朗日 (E - L) 公式：

定义一个能量泛函如下：

$E(u) = \int_{a}^{b}F(x,u,{u}')dx$

$u = u(x)$

我们的目的是找到能使 $E(u)$ 取到极值的时候 $u$ 的取值，所以我们就假设 $u$ 就是当前能使 $E(u)$ 取极值时的一个函数： $u = argminE(u)$

所以一定有：

$E(u)\leqslant E(u+t v)$

$E(u+t v) =\int_{a}^{b}F(x,u+tv,{(u+tv)}')dx$

其中 $u$ 和 $v$ 都是关于 $x$ 的函数，也就是 $u(x)$ 和 $v(x)$ . 且 $v(a)=v(b)=0{\color{Blue} }{\color{DarkRed} }$

我们把 $E(u+t v)$ 看成一个 $t$ 为变量的函数 $\o (t)$ ，当 $t \to 0$ 时 $E(u)= E(u+t v)$ ，所以可以推断出 $\frac{\partial \o }{\partial t} = 0$ .

原式： $\frac{\partial \o }{\partial t}$

$= \frac{\partial E(u+t v) }{\partial t}$

$=\int_{a}^{b}[\frac{\partial F(x,u+tv,{(u+tv)}' )}{\partial x}*\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial F(x,u+tv,{(u+tv)}' )}{\partial (u+tv)}*\frac{\partial (u+tv)}{\partial t}+\frac{\partial F(x,u+tv,{(u+tv)}' )}{\partial {(u+tv)}'}*\frac{\partial ({(u+tv)}')}{\partial t}]dx$

$=\int_{a}^{b}[\frac{\partial F(x,u+tv,{(u+tv)}' }{\partial (u+tv)}* v+\frac{\partial F(x,u+tv,{(u+tv)}' }{\partial {(u+tv)}'}*{v}']dx$

由于 $t \to 0$ ：

$=\int_{a}^{b}[\frac{\partial F }{\partial u}* v+\frac{\partial F }{\partial {u}'}*{v}']dx$

$=\int_{a}^{b}\frac{\partial F }{\partial u}vdx+\int_{a}^{b}\frac{\partial F }{\partial {u}'}{v}'dx$

$=\int_{a}^{b}\frac{\partial F }{\partial u}vdx+\int_{a}^{b}\frac{\partial F }{\partial {u}'}dv$

对后一项使用分部积分公式：

$=\int_{a}^{b}\frac{\partial F }{\partial u}vdx+\frac{\partial F}{\partial {u}'}v-\int_{a}^{b}vd(\frac{\partial F}{\partial {u}'})$

$=\int_{a}^{b}\frac{\partial F }{\partial u}vdx+\frac{\partial F}{\partial {u}'}v-\int_{a}^{b}v\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u}'})dx$

合并第一项和第三项：

$=\int_{a}^{b}\frac{\partial F }{\partial u}vdx-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u}'})vdx+\frac{\partial F}{\partial {u}'}v|_{a}^{b}$

$=\int_{a}^{b}[\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u}'})]vdx+\frac{\partial F}{\partial {u}'}v|_{a}^{b}$

文章开头我们提过 $v(a)=v(b)=0$ ，所以 $\frac{\partial F}{\partial {u}'}v|_{a}^{b} = 0$ ，若原式 $\frac{\partial \o }{\partial t}$ $=0$ ，则：

$\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u}'}) = 0{\color{Red} }$

$-\frac{\partial F}{\partial u}+\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u}'}) = 0$

这就是变分法引理，也就是大名鼎鼎的欧拉 - 拉格朗日 (E - L) 公式

我们利用相同的方法，可以推出几个衍生公式：

1 . 积分泛函为： $E(u) = \int_{a}^{b}F(x,u,{u}')dx$ 时，利用上述变分法得到E-L公式为

$\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u}'})+\frac{d^{2}}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u}''}) = 0$

$-\frac{\partial F}{\partial u}+\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u}'})-\frac{d^{2}}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u}''}) = 0$

2 . 积分泛函为： $E(u) = \int_{a}^{b}F(x,y,u,u_{x},u_{y})dx$ 时，利用上述变分法得到E-L公式为

$\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u_{x}}'})-\frac{d}{dy}(\frac{\partial F}{\partial {u_{y}}'}) = 0$

$-\large \frac{\partial F}{\partial u}+\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u_{x}}'})+\frac{d}{dy}(\frac{\partial F}{\partial {u_{y}}'}) = 0$

意义及应用：

文章的标题已经说过了，在关于水平集图像分割中，其公式的意义主要是用于梯度下降求泛函最优解，那为什么要引用一个新变量 $t$ ？根据水平集和曲线演化的概念，曲线是随着时间慢慢演化的，我们就可以理解为 $t$ 取一个趋近于 $0$ 很小的数，所以 $\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u}'})$ 也就会很小，把 $t$ 当成时间变量，我们利用时间一点点向前，一点一点演化曲线，最终达到目的。

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