AR模型中方差计算—

Green函数

在大三学习时间序列时也没有怎么弄懂，此次重新回顾一番，希望能有更深的理解。
在时序分析中，Green函数出现在AR模型的方差计算中,用于计算AR模型的方差。

定义

假设xt{x_t}xt为任意阶数的AR模型，那么一定存在一个常数序列{Gj}(j=0,1,2,...)\{G_j\}(j=0,1,2,...){Gj}(j=0,1,2,...),使得xt{x_t}xt可以等价表达为纯随机序{ϵt}\{\epsilon_t\}{ϵt}的线性组合，即：
xt=G0ϵt+G1ϵt−1+G2ϵt−2+...x_t=G_0\epsilon_t+G_1\epsilon_{t-1}+G_2\epsilon_{t-2}+...xt=G0ϵt+G1ϵt−1+G2ϵt−2+...
这个常数序列{Gj}\{G_j\}{Gj}就称为Green函数。
我们知道，引入延迟算子时，p阶AR模型可以表示为：
Φ(B)xt=ϵt\Phi(B)x_t=\epsilon_tΦ(B)xt=ϵt
其中Φ(B)=1−ϕ1B−ϕ2B2−...−ϕpBp\Phi(B)=1-\phi_1B-\phi_2B^2-...-\phi_pB^pΦ(B)=1−ϕ1B−ϕ2B2−...−ϕpBp。
而xt{x_t}xt又可以用Green函数等价表达为：
xt=G(B)ϵtx_t=G(B)\epsilon_txt=G(B)ϵt
其中G(B)=G0+G1B+G2B2+...G(B)=G_0+G_1B+G_2B^2+...G(B)=G0+G1B+G2B2+...。
两式合并，可得到：
Φ(B)G(B)ϵt=ϵt\Phi(B)G(B)\epsilon_t=\epsilon_tΦ(B)G(B)ϵt=ϵt
左式可写为：
(1−∑k=1pϕkBk)(∑j=0∞GjBj)ϵt=ϵt(1-\sum_{k=1}^p\phi_kB^k)(\sum_{j=0}^\infty G_j B^j)\epsilon_t=\epsilon_t(1−k=1∑pϕkBk)(j=0∑∞GjBj)ϵt=ϵt
展开可得：
(1−ϕ1B−ϕ2B2−...−ϕpBp)(G0+G1B+G2B2+...)ϵt=ϵt(1-\phi_1 B-\phi_2 B^2-...-\phi_pB^p)(G_0+G_1B+G_2B^2+...)\epsilon_t=\epsilon_t(1−ϕ1B−ϕ2B2−...−ϕpBp)(G0+G1B+G2B2+...)ϵt=ϵt
观察BtB^tBt系数：
B0:G0B^0:G_0B0:G0
B1:G1−G0ϕ1B^1:G_1-G_0\phi_1B1:G1−G0ϕ1
B2:G2−G0ϕ2−G1ϕ1B^2:G_2-G_0\phi_2-G_1\phi_1B2:G2−G0ϕ2−G1ϕ1
.........
Bp：Gp−G0ϕp−G1ϕp−1−G2ϕp−2−...−Gp−1ϕ1B^p：G_p-G_0\phi_p-G_1\phi_{p-1}-G_2\phi_{p-2}-...-G_{p-1}\phi_1Bp：Gp−G0ϕp−G1ϕp−1−G2ϕp−2−...−Gp−1ϕ1
Bp+1：Gp+1−G1ϕp−G2ϕp−1−G3ϕp−2−...−Gpϕ1B^{p+1}：G_{p+1}-G_1\phi_p-G_2\phi_{p-1}-G_3\phi_{p-2}-...-G_p\phi_1Bp+1：Gp+1−G1ϕp−G2ϕp−1−G3ϕp−2−...−Gpϕ1
Bp+2：Gp+2−G2ϕp−G3ϕp−1−...−Gpϕ2B^{p+2}：G_{p+2}-G_2\phi_{p}-G_3\phi_{p-1}-...-G_p\phi_2Bp+2：Gp+2−G2ϕp−G3ϕp−1−...−Gpϕ2
Φ(B)G(B)ϵt=[G0−∑j=1∞(Gj−∑k=0jGkϕj−k)Bj]ϵt=ϵt\Phi(B)G(B)\epsilon_t = [G_0-\sum_{j=1}^\infty(G_j-\sum_{k=0}^jG_k\phi_{j-k})B_j ]\epsilon_t=\epsilon_tΦ(B)G(B)ϵt=[G0−j=1∑∞(Gj−k=0∑jGkϕj−k)Bj]ϵt=ϵt
要使等号两边成立，即要满足两个条件：
{G0=1∑j=1∞(Gj−∑k=0jϕk′Gj−k)=0,∀j≥1\begin{cases} G_0=1 \\ \sum_{j=1}^\infty(G_j-\sum_{k=0}^j\phi_k^{'} G_{j-k})=0,\forall j \geq1 \end{cases}{G0=1∑j=1∞(Gj−∑k=0jϕk′Gj−k)=0,∀j≥1
其中：
ϕ(k)={ϕk,k<=p0,k>p\phi(k)=\begin{cases} \phi_k,k<=p \\ 0,k>p\end{cases}ϕ(k)={ϕk,k<=p0,k>p
由此可得到任意平稳的p阶AR模型的Green函数递推公式为：
Gj={1,j=0∑k=0jϕk′Gj−k,j≥1G_j=\begin{cases}1, j=0 \\ \sum_{k=0}^j\phi_k^{'} G_{j-k},j \geq 1 \end{cases}Gj={1,j=0∑k=0jϕk′Gj−k,j≥1

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