题目

我竟然能做出九老师的组合计数题，尽管这题很呆

我们先考虑一个简单的问题，如果给定你要选出来的\(m\)张卡牌，如何做到攻击伤害最高

非常显然，因为保证了强化牌上的数字大于\(1\)，所以我们优先选择那些强化牌，毕竟最小的一张只能翻两倍的强化牌都要比选择攻击牌好；选完强化牌之后剩下的攻击牌自然是越大越好

当然了，我们也不可能选出\(k\)张强化牌来，这样什么伤害都造不成，所以如果强化牌数量大于\(k\)，我们就选择前\(k-1\)大的强化牌，配上最大的攻击牌

我们发现给定的强化牌和攻击牌都是无序的，我们先排序再说

之后我们就可以大力\(dp\)了

设\(dp_{i,j}\)表示前\(i\)张强化牌里选出\(j\)张所有强化牌乘积的和，\(f_{i,j}\)表示前\(i\)张强化牌里选择了\(j\)张且第\(i\)张一定被选择的乘积和

显然有转移

\[dp_{i,j}=dp_{i-1,j}+dp_{i-1,j-1}\times a_i\]

\[f_{i,j}=dp_{i-1,j-1}\times a_i\]

攻击牌这边我们设\(h_{i,j}\)表示前\(i\)张攻击牌里选择了\(j\)张的所有方案的和，\(g_{i,j}\)表示强迫选择第\(i\)张

也有转移

\[h_{i,j}=h_{i-1,j}+h_{i-1,j-1}+C_{i-1}^{j-1}\times b_i\]

\[g_{i,j}=h_{i-1,j-1}+C_{i-1}^{j-1}\times b_i\]

现在我们考虑枚举选择了多少张强化牌

设选择了\(i\)张强化牌，自然也就需要选择\(m-i\)张攻击牌

如果\(i<k\)，那么这些强化牌都是要直接用的，选择的\(m-i\)张攻击牌里能被用于打出的\(k\)张的也就只有\(k-i\)张，而剩下的\(m-i-(k-i)=m-k\)张牌我们在后面随便选一下

于是答案就是

\[\sum_{j=0}^nf_{j,i}\times \sum_{j=0}^ng_{j,k-i}C_{n-j}^{m-k}\]

如果\(i>=k\)，那么我们也只能选择\(k-1\)张强化牌，剩下的多选出来的\(i-k+1\)张我们还是从后面的位置里选出来，实际上需要的攻击牌也就只有\(1\)张，需要额外多选的攻击牌也就只有\(m-i-1\)张

答案就是

\[\sum_{j=0}^nf_{j,k-1} C_{n-j}^{i-k+1}\times \sum_{j=0}^ng_{j,1}C_{n-j}^{m-i-1}\]

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read() {char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||x>'9') c=getchar();while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const int mod=998244353;
const int maxn=3005;
int c[maxn][maxn];
int dp[maxn][maxn],f[maxn][maxn];
int g[maxn][maxn],h[maxn][maxn];
int T,n,m,k;
int a[maxn],b[maxn];
inline int C(int n,int m) {if(m>n) return 0;return c[n][m];}
inline int cmp(int A,int B) {return A>B;}
int main() {T=read();int M=maxn-5;for(re int i=0;i<=M;i++) c[i][0]=c[i][i]=1;for(re int i=1;i<=M;i++)for(re int j=1;j<i;j++)c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;while(T--) {n=read(),m=read(),k=read();for(re int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();for(re int i=1;i<=n;i++) b[i]=read();std::sort(a+1,a+n+1,cmp);std::sort(b+1,b+n+1,cmp);dp[0][0]=1;for(re int i=1;i<=n;i++)for(re int j=0;j<=i;j++) {dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j) dp[i][j]=(dp[i][j]+1ll*dp[i-1][j-1]*a[i]%mod)%mod;}f[0][0]=1;for(re int i=1;i<=n;i++) for(re int j=1;j<=i;j++) f[i][j]=1ll*dp[i-1][j-1]*a[i]%mod;h[0][0]=0;for(re int i=1;i<=n;i++)for(re int j=0;j<=i;j++) {h[i][j]=h[i-1][j];if(j) h[i][j]=(h[i][j]+1ll*C(i-1,j-1)*b[i]%mod+h[i-1][j-1])%mod;}for(re int i=1;i<=n;i++)for(re int j=1;j<=i;j++)g[i][j]=(1ll*C(i-1,j-1)*b[i]%mod+h[i-1][j-1])%mod;int ans=0;for(re int i=0;i<m;i++) {int now=0;for(re int j=0;j<=n;j++) {if(i<=k-1) now=(now+f[j][i])%mod;else now=(now+1ll*f[j][k-1]*C(n-j,i-k+1)%mod)%mod;}int tot=0,res=0;if(i<=k-1) res=k-i;else res=1;for(re int j=0;j<=n;j++) tot=(tot+1ll*g[j][res]*C(n-j,m-i-res)%mod)%mod;ans=(ans+1ll*now*tot%mod)%mod;}printf("%d\n",ans);}return 0;
}