关于 φ\varphiφ与Φ\PhiΦ函数与序列中分数个数的讨论

序列0/n,1/n⋯(n−1)/n0/n,1/n\cdots (n-1)/n0/n,1/n⋯(n−1)/n中分数个数

考虑序列0n,1n,2n⋯n−1n\frac{0}{n},\frac{1}{n},\frac{2}{n}\cdots\frac{n-1}{n} n0,n1,n2⋯nn−1
其中分数有两类{分子、分母可以约分分子、分母不可约分（最简）：有φ(n)个\begin{cases} 分子、分母可以约分\\ 分子、分母不可约分（最简）：有\varphi(n)个 \end{cases} {分子、分母可以约分分子、分母不可约分（最简）：有φ(n)个
因为分子分母不可约分就相当于它们互素，所以φ(n)=\varphi(n)=φ(n)= 分母为nnn的最简真分数的个数
对于前者，考虑分数mn\cfrac{m}{n}nm，其中d=gcd(m,n)d=gcd(m,n)d=gcd(m,n)
- 即分子、分母可以且最多约去ddd，从而mn=m/dn/d(m/d⊥n/d)\frac{m}{n}=\frac{m/d}{n/d}\quad (m/d\perp n/d) nm=n/dm/d(m/d⊥n/d)
- 此时分子⊥分母分子\perp 分母分子⊥分母，不可再约
- 这样的mn\cfrac{m}{n}nm有φ(n/d)\varphi(n/d)φ(n/d)个
- 总结：约去d→分母为n/d→φ(n/d)d\to 分母为n/d\to\varphi(n/d)d→分母为n/d→φ(n/d)个
注意到d, n/dd,\;n/dd,n/d是对称的，n/dn/dn/d同样是nnn的因子
换句话说：约分后分母为d→φ(d)d\to\varphi(d)d→φ(d)个
因为序列中所有分数化简后分母只能是nnn的因子，且所有因子都能取到
所以n=∑d∣nφ(d)n=\sum_{d|n}\varphi(d) n=d∣n∑φ(d)

Farey级数Fn\mathcal{F}_nFn中分数个数

Fn\mathcal{F}_nFn中包含了01∼11\cfrac{0}{1}\sim\cfrac{1}{1}10∼11的所有分母不超过nnn的最简真分数
其个数为Φ(n)+1\Phi(n)+1Φ(n)+1
- 其中Φ(x)=∑1≤k≤xφ(k)\Phi(x)=\sum_{1\leq k\leq x}\varphi(k)Φ(x)=1≤k≤x∑φ(k)
  表示所有分母不超过xxx的最简真分数个数
- 之所以“+1”是因为级数中还包含了11\cfrac{1}{1}11

所有满足0≤m<n≤x0\leq m<n\leq x0≤m<n≤x的基本分数mn\cfrac{m}{n}nm个数

显然，一共有12⌊x⌋(⌊x⌋+1)个\frac{1}{2}\lfloor x\rfloor(\lfloor x\rfloor+1)个21⌊x⌋(⌊x⌋+1)个
这些分数中同样有两类{分子、分母可以约分分子、分母不可约分（最简）\begin{cases} 分子、分母可以约分\\ 分子、分母不可约分（最简） \end{cases} {分子、分母可以约分分子、分母不可约分（最简）
但所有分数中分子、分母必定是有一个最大公约数的
将所有分数mn\cfrac{m}{n}nm按分子、分母的最大公约数分类
如对于所有满足d=gcd(m,n)d=gcd(m,n)d=gcd(m,n)的分数：
- 有mn=m/dn/d,(0≤m/d<n/d≤x/d)\frac{m}{n}=\frac{m/d}{n/d},\quad\quad (0\leq m/d < n/d \leq x/d) nm=n/dm/d,(0≤m/d<n/d≤x/d)
- 这样的分数的个数即为所有分母不超过⌊xd⌋\left\lfloor\cfrac{x}{d}\right\rfloor⌊dx⌋的最简真分数个数
- 个数=Φ(xd)=Φ(⌊xd⌋)=\Phi\left(\cfrac{x}{d}\right)=\Phi\left(\left\lfloor\cfrac{x}{d}\right\rfloor\right)=Φ(dx)=Φ(⌊dx⌋)
于是∑d≥1Φ(xd)=12⌊x⌋(⌊x⌋+1)\sum_{d\geq 1}\Phi\left(\frac{x}{d}\right)=\frac{1}{2}\lfloor x\rfloor(\lfloor x\rfloor+1) d≥1∑Φ(dx)=21⌊x⌋(⌊x⌋+1)

总结

φ(n)=\varphi(n)=φ(n)= 分母为 nnn 的最简真分数的个数
Φ(x)=\Phi(x)=Φ(x)=分母不超过 xxx 的最简真分数的个数
n=∑d∣nφ(d)n=\sum_{d|n}\varphi(d)n=∑d∣nφ(d)
Φ(x)=∑1≤k≤xφ(k)\Phi(x)=\sum_{1\leq k\leq x}\varphi(k)Φ(x)=∑1≤k≤xφ(k)
∑d≥1Φ(xd)=12⌊x⌋(⌊x⌋+1)\sum_{d\geq 1}\Phi\left(\cfrac{x}{d}\right)=\frac{1}{2}\lfloor x\rfloor(\lfloor x\rfloor+1)∑d≥1Φ(dx)=21⌊x⌋(⌊x⌋+1)

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