一种直观理解Galois理论的途径

传统的Galois理论在证明5次以及以上多项式无求根公式时所使用的群论并不直观，通常需要用一些特例去逐个构造证明过程，而且这些过程均是特异的，彼此之间并不可重用。这是因为Galois理论在应用时基于扩域操作，这一自底向上的操作通常是基于特定的目标多项式，并不具有普遍性。因此，在应用的时候非常不方便，且理解起来很晦涩难懂。

Galois理论之核心在于域与域的Galois群之间的同构关系。也就是说把对于无限的域的研究转换成对于有限的，域导出的群的，研究。那么一个关键问题就是，Galois群里面的元素到底是什么。

我们知道，韦达定理确定了根与系数的关系。然而这是一种对称多项式，也就是说，在系数域中，我们无法区分不同的根。而求根公式存在之意义就是要打破这种对称性。所谓打破对称性，简单的说，就是对于每个根找到一个symbolic expression，这个expression是唯一的，不同的根就是通过这个expression来区分的。如果可以找到这样一个东西，那就说明我们找到了求根公式。

就比如说根号这个符号，它的意义是什么呢？因为我们无法在系数域中区分不同的根，为什么呢？假设根 $x_i=f(a,b,c,...)=r_ie^{i\theta}$ ，那么任意两个根 $x_ix_j$ 之间的对换并不会改变系数的值，它们只能改变求根公式 $2k\pi$ 的相位，所以最后并不能用这个公式区分出 $x_i$ ，显然这是维达定理的对称性决定的。然而，如果我们引入根式，情况就会大不一样了，因为 $x_i=\sqrt[n]{f(a,b,c,d,...))}=\sqrt[n]{r_ie^{i\theta}}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}$ ,即使这个单纯的对换依然使得系数相位发生了 $2k\pi$ 的改变，然而，由于除以了n，这使得求根公式的值也发生了对应的变化，换句话说，根与求根公式之间出现了1-1对应的关系。为了严谨起见，当我们再次对换后，之前的相位变化便被逆转了，所以求根公式的值也被逆转回去了。总结来说，根式的存在打破了原来系数域的对称性，使得我们可以区分最多两个不同的根。这个根号就是我们要找的symbolic expression。一般来说，当我们通过一系列对换操作和逆对换操作后，求根公式应该始终与同一个根绑定。如果在这一系列操作后，求根公式与根之间的1-1对应关系被打破了，那就说明当前的公式不足以区分所有的根。

举个例子，一重根号无法区别多余2个的根。考虑以下对换(1,2,3)->(2,1,3)->(2,3,1)->(3,2,1)->(3,2,1), 在这一过程中，我们观察到 $x_1=\sqrt[n]r_1e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}$ 相位不会变化。然而，在整个过程结束后， $x_3$ 取代了 $x_1$ 的位置，或者说得到了和 $x_1$ 起始时一样的求根公式。那么，也就是说，求根公式与根之间的1-1对应关系被打破了。

我们把这种对换序列定义为一个对换子，对换子保证了求根公式不会发生改变。所以如果根与求根公式的1-1对应关系始终成立，那么对换子应该同时保证根的位置也是不变的。然而，我们看到了一重对换子只能保证两个根不变。如果有三个根，则需要有二重对换子，也就是对换子的对换子。对应到根的表达式上，就是根号下再求根号：由于对换子保证了一切根号下系数域的相位不变性，因此对换子的对换子就保证了一切根号下，根号下系数域的，相位不变性。换句话说，如果一个多项式存在求根表达式，则这个表达式一定是在某个多重对换子下相位不变的，同时所有的根也是在这个对换子下不变的。

这里我们就发现了某种深刻的对应关系存在于对换子运算，根式嵌套，以及Galois群！首先Galois理论通过扩域运算来逐渐固定根的自同构运算，从而把解逐个固定住，一级级往上构造。那么固定这一级级根的Galois群就尤为重要。我们不仅要问，一个Galois群里面的元素究竟是什么，当我们在求解方程的根式表达式的时候？我们发现，Galois扩域扩的其实就是一级级嵌套的根式，每往上一级，已有的根式就通过群Aut(L/K)固定下来了，那么接下来就是研究剩下的还没固定下来的根之间有哪些置换方式，使得在当前域下面这些置换是无法区分的。在另一边，我们推导了嵌套根式与对换子的关系，而对换子也可以保证某些根式的取值不再改变，因此也是起到了固定的作用。这里我们终于洞察到了一个深刻的联系，即：固定n个根的伽罗瓦群G=Aut(L/K)中的元素就是所有的可以固定n个根的n重对换子！

举个例子：比如说对于四次多项式，有四个根，这四个根总共有4!=24总组合，而这就是0重对换子的数量，也就是最上级群G中置换的个数。那么针对这24总组合，全部一重对换子的数量是12，而这个刚好就是加入一个根号后扩域对应的Galois群 $A_{4}$ 中置换的个数，进一步的，针对这12个一重对换子，求所有可能的二重对换子，得到4，正好对应克莱因四元群V，最后再对这4个二重对换子求三重对换子，得到的是1，也就是e群。

最后，为什么5次方程没有求根公式，证明起来就很简单，因为我们可以求5个根的所有一重对换子，得到的答案是60，然后我们再求这60个一重对换子的二重对换子，答案依然是60. 所以，不管取多少重对换子，我们依然无法将根固定下来。换句话说，无论套叠多少个有限的根号，都无法得到根与求根公式的1-1对应关系。所以5次方程无求根公式。而这个60正好就是 $A_{5}$ 中元素的个数！

总结一下：假设一个多项式存在求根公式，那么这个公式和根之间必然是1-1对应的。当我们对换任意两个根的时候，对应的求根公式必然也要变化。如果存在某个对换序列，使得求根公式不发生变化而根的顺序发生了变化，则意味着必然有两个根共享同一个求根公式，这就说明这个求根公式不成立，它无法区分那两个根。唯一使求根公式不发生变化的就是N重对换子，而如果根的顺序在N重对换子下发生了变化，则当前求根公式不成立。N重对换子与N重根式相关，一个具有N重根式的求根公式必然在N重对换子下不发生变化。因此对于N个根，要判断N重对换子是否能使求根公式成立，只需要判断这N个根是否在N重对换子下不变。Galois理论通过具体的实例来构造可以固定每个根的Galois群级，而N重对换子这是在符号层面上，抽象的去固定根的可能形式。但是Galois群中元素的本质其实就是N重对换子。

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