POJ2187-最远点对-旋转卡壳（怎么开心怎么读）

给n个点，求最远点对,n<=50000

n^2暴力可以过么- -|| 给了3s

不过据说凸包+n^2暴力可以过，没有卡数据。

然后我写了一下，发现果然数据很弱。

这是裸的凸包+n^2

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
const int maxn=50000+20;
using namespace std;
struct point
{int x,y;point(){}point(int _x,int _y){x=_x;y=_y;}point operator +(const point&b){return point(x+b.x,y+b.y);}point operator -(const point&b){return point(x-b.x,y-b.y);}point operator *(const int &b){return point(x*b,y*b);}
};
int cross(point a,point b)
{return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
int dot(point a,point b)
{return a.x*b.x+a.y*b.y;
}
bool cmp(point a,point b)
{if(a.x!=b.x)return a.x<b.x;return a.y<b.y;
}
int n;
int dis(point a,point b)
{return (a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y);
}
point p[maxn];
point q[maxn];
void solve()
{sort(p+1,p+n+1,cmp);int m=0;for(int i=1;i<=n;i++){while(m>1&&cross(q[m-1]-q[m-2],p[i]-q[m-2])<=0)m--;q[m++]=p[i];}int k=m;for(int i=n-1;i>=1;i--){while(m>k&&cross(q[m-1]-q[m-2],p[i]-q[m-2])<=0)m--;q[m++]=p[i];}int ans=0;for(int i=0;i<m;i++){for(int j=i+1;j<m;j++){ans=max(ans,dis(q[i],q[j]));}}printf("%d\n",ans);
}
int main()
{while(scanf("%d",&n)!=EOF){for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);solve();}return 0;
}

不过跑的最快的应该就是凸包+旋转卡壳了。

对于一个凸多边形，我们可以尝试用两条相平行但反向的有向直线去夹，一定能够夹住。夹住的两个点为对踵点。

我们可以看成是对于每一条边，都找到一个最高的点，使得和它构成的三角形面积最大。然后再转动这个边，如果是逆时针转的，那么新的最高点也会向逆时针转，因为两条平行线转动方向需要一致。利用这个性质我们就可以从上一次找到的点枚举，就降低了复杂度。(一般优化到O(n))

旋转卡壳的代码其实很短：

void qiake(int n)
{int pos=1;int ans=0;for(int i=0;i<n-1;i++){while(cross(q[i+1]-q[i],q[pos]-q[i])<cross(q[i+1]-q[i],q[pos+1]-q[i]))pos=(pos+1)%n;ans=max(ans,dis(q[i],q[pos]));ans=max(ans,dis(q[i+1],q[pos]));}printf("%d\n",ans);
}

看出来了，其实是利用了叉积计算三角形面积，使得某一个点的和边构成的三角形面积最大。

然后就是求最远点对的模版：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
const int maxn=50000+5;
using namespace std;
struct point
{int x,y;point(){}point(int _x,int _y){x=_x;y=_y;}point operator +(const point&b){return point(x+b.x,y+b.y);}point operator -(const point&b){return point(x-b.x,y-b.y);}point operator *(const int &b){return point(x*b,y*b);}
};
int dis(point a,point b)
{return (a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y);
}
int cross(point a,point b)
{return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
int dot(point a,point b)
{return a.x*b.x+a.y*b.y;
}
bool cmp(point x,point y)
{if(x.x!=y.x)return x.x<y.x;else return x.y<y.y;
}point q[maxn];
point p[maxn];
int len;
void qiake(int n)
{int pos=1;int ans=0;for(int i=0;i<n-1;i++){while(cross(q[i+1]-q[i],q[pos]-q[i])<cross(q[i+1]-q[i],q[pos+1]-q[i]))pos=(pos+1)%n;ans=max(ans,dis(q[i],q[pos]));ans=max(ans,dis(q[i+1],q[pos]));}printf("%d\n",ans);
}
int n;
int solve()
{sort(p+1,p+n+1,cmp);int m=0;for(int i=1;i<=n;i++){while(m>1&&cross(q[m-1]-q[m-2],p[i]-q[m-2])<=0)m--;q[m++]=p[i];}int k=m;for(int i=n-1;i>=1;i--){while(m>k&&cross(q[m-1]-q[m-2],p[i]-q[m-2])<=0)m--;q[m++]=p[i];}if(n>1)m--;return m;
}
point t[maxn];int main()
{while(scanf("%d",&n)!=EOF){for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);len=solve();qiake(len);}return 0;
}

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