【JZOJ6150】爱乐之城

Description

给定nnn个元素a1∼na_{1∼n}a1∼n，对于i∈[1,n]i \in[1,n]i∈[1,n]求F(a1∼i)F(a_{1∼i})F(a1∼i)。
其中：
f(n)=∑i=1n∑j=1nμ(ij)f(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mu(ij)f(n)=∑i=1n∑j=1nμ(ij)
g(n)=∑i=1ni∑j=1n[gcd(i,j)=1]jg(n)=\sum_{i=1}^n i\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=1]jg(n)=∑i=1ni∑j=1n[gcd(i,j)=1]j
F(S)=∑T∈Sf(gcd(a∈T))∏a∈Tg(a)F(S)=\sum_{T\in S}f(gcd(a\in T))\prod_{a\in T}g(a)F(S)=∑T∈Sf(gcd(a∈T))∏a∈Tg(a)
答案对998244353取模，强制在线，真实的aia_iai两两不同。

Solution

以下n非题目中的n
g(n)=2(∑i=2ni∑j=1i[gcd(i,j)=1]j)+1=∑i=1ni2φ(i)g(n)=2(\sum_{i=2}^ni\sum_{j=1}^i[gcd(i,j)=1]j)+1=\sum_{i=1}^ni^2φ(i)g(n)=2(∑i=2ni∑j=1i[gcd(i,j)=1]j)+1=∑i=1ni2φ(i)
f(n)=∑i=1nμ(i)∑j=1⌊ni⌋∑k=1⌊ni⌋μ(ij)μ(ik)=∑i=1nμ(i)(∑j=1⌊ni⌋μ(jk))2f(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\mu(ij)\mu(ik)=\sum_{i=1}^n\mu(i)(\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\mu(jk))^2f(n)=∑i=1nμ(i)∑j=1⌊in⌋∑k=1⌊in⌋μ(ij)μ(ik)=∑i=1nμ(i)(∑j=1⌊in⌋μ(jk))2
注意到我们要对f(1∼m)f(1∼m)f(1∼m)都求答案，但nnn每增加111改动只有约数个数位，所以增量求即可。
构造函数h(n)h(n)h(n)使得f(n)=∑d∣nh(d)f(n)=\sum_{d|n}h(d)f(n)=∑d∣nh(d)，即h(n)=f(n)−∑d∣n&d<nh(d)h(n)=f(n)-\sum_{d|n\&d<n}h(d)h(n)=f(n)−∑d∣n&d<nh(d)。
那么F(S)=∑T∈S(∑d∣gcd(a∈T)h(d))∏a∈Tg(a)F(S)=\sum_{T\in S}(\sum_{d|gcd(a\in T)}h(d))\prod_{a\in T}g(a)F(S)=∑T∈S(∑d∣gcd(a∈T)h(d))∏a∈Tg(a)
交换主体：F(S)=∑d=1mh(d)(∏d∣a(g(a)+1)−1)F(S)=\sum_{d=1}^m h(d)(\prod_{d|a}(g(a)+1)-1)F(S)=∑d=1mh(d)(∏d∣a(g(a)+1)−1)
注意到F(S)F(S)F(S)增加一位也只会改变约数个数的值，且aia_iai两两不同，直接算即可。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define fo(i,j,k) for(int i=j,o=k;i<=o;++i)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=4e5+10,mo=998244353;
int mu[N],pr[N],phi[N];
vector<int> b[N];
int read(){char ch=' ';int t=0;for(;ch<'0' || ch>'9';ch=getchar());for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar()) t=(t<<1)+(t<<3)+ch-48;return t;
}
int pl(int x,int y){return x+y>=mo?x+y-mo:x+y;
}
void inc(int &x,int y){x=x+y>=mo?x+y-mo:x+y;
}
void pre(int n){mu[1]=phi[1]=1;fo(i,2,n){if(!phi[i]) phi[i]=i-1,mu[i]=-1,pr[++pr[0]]=i;fo(j,1,pr[0]){int t=i*pr[j];if(t>n) break;if(i%pr[j]==0) {phi[t]=phi[i]*pr[j],mu[t]=0;break;}mu[t]=-mu[i],phi[t]=phi[i]*(pr[j]-1);}}
}
int f[N],g[N],s[N],h[N],w[N];
int main()
{freopen("lalaland.in","r",stdin);freopen("lalaland.out","w",stdout);int n=read(),m=read(),tp=read();pre(m);fo(i,1,m) g[i]=pl(g[i-1],(ll)i*i%mo*phi[i]%mo);fo(i,1,m)fo(j,1,m/i) b[i*j].push_back(i);fo(i,1,m){f[i]=f[i-1];for(int d:b[i]){int t=mu[i]*(2*s[d]+mu[i]);f[i]+=mu[d]*t%mo;s[d]+=mu[i];}}fo(i,1,m){h[i]=f[i];for(int d:b[i]) if(d<i) h[i]-=h[d];}fo(i,1,m) h[i]=(h[i]+mo)%mo,w[i]=1;int ans=0;fo(i,1,n){int x=read();if(tp==1) x=(19891989ll*ans+x)%m+1;for(int d:b[x]){inc(ans,mo-(ll)h[d]*(w[d]-1)%mo);w[d]=(ll)w[d]*pl(g[x],1)%mo;inc(ans,(ll)h[d]*(w[d]-1)%mo);}if(tp) printf("%d\n",ans);}if(!tp) printf("%d\n",ans);
}