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Otsu算法(大律法或最大类间方差法)
一、Otsu最大类间方差法原理
利用阈值将原图像分成前景，背景两个图象。
前景：用n1,csum,m1来表示在当前阈值下的前景的点数，质量矩，平均灰度
后景：用n2,sum-csum,m2来表示在当前阈值下的背景的点数，质量矩，平均灰度
当取最佳阈值时，背景应该与前景差别最大，关键在于如何选择衡量差别的标准，而在otsu算法中这个衡量差别的标准就是最大类间
方差（英文简称otsu，这也就是这个算法名字的来源），在本程序中类间方差用sb表示，最大类间方差用fmax
关于最大类间方差法（otsu）的性能:
类间方差法对噪音和目标大小十分敏感，它仅对类间方差为单峰的图像产生较好的分割效果。
当目标与背景的大小比例悬殊时，类间方差准则函数可能呈现双峰或多峰，此时效果不好，但是类间方差法是用时最少的。
最大类间方差法（otsu）的公式推导：
记t为前景与背景的分割阈值，前景点数占图像比例为w0，平均灰度为u0；背景点数占图像比例为w1，平均灰度为u1。
则图像的总平均灰度为：u=w0*u0+w1*u1。
前景和背景图象的方差：g=w0*(u0-u)*(u0-u)+w1*(u1-u)*(u1-u)=w0*w1*(u0-u1)*(u0-u1),此公式为方差公式。
可参照概率论课本上面的g的公式也就是下面程序中的sb的表达式。当方差g最大时，可以认为此时前景和背景差异最大，此时的灰
度t是最佳阈值sb= w1*w2*(u1-u0)*(u0-u1)
算法实现1：
unsafepublicintGetThreshValue(Bitmapimage)
{
BitmapDatabd=image.LockBits(new Rectangle(0,0,image.Width, image.Height), ImageLockMode.WriteOnly, image.PixelFormat);
byte*pt=(byte*)bd.Scan0;
int[] pixelNum=newint[256]; //图象直方图，共256个点
bytecolor;
byte*pline;
int n,n1,n2;
int total; //total 为总和，累计值
doublem1,m2,sum,csum,fmax, sb; //sb 为类间方差，fmax存储最大方差值
int k,t, q;
int threshValue =1; // 阈值
int step=1;
switch(image.PixelFormat)
{
casePixelFormat.Format24bppRgb:
step=3;
break;
casePixelFormat.Format32bppArgb:
step=4;
break;
casePixelFormat.Format8bppIndexed:
step=1;
break;
}
//生成直方图
for(inti =0;i
{
pline=pt+i *bd.Stride;
for(intj =0;j
{
color=*(pline+j *step); //返回各个点的颜色，以RGB表示
pixelNum[color]++; //相应的直方图加1
}
}
//直方图平滑化
for(k =0;k<=255;k++)
{
total =0;
for(t =-2;t <=2;t++) //与附近2个灰度做平滑化，t值应取较小的值
{
q=k+t;
if (q<0) //越界处理
q=0;
if (q>255)
q=255;
total =total +pixelNum[q]; //total 为总和，累计值
}
//平滑化，左边2个+中间1个+右边2个灰度，共5个，所以总和除以5，后面加0.5是用修正值
pixelNum[k]=(int)((float)total/ 5.0+0.5);
}
//求阈值
sum=csum=0.0;
n=0;
//计算总的图象的点数和质量矩，为后面的计算做准备
for(k =0;k<=255;k++)
{
//x*f(x)质量矩，也就是每个灰度的值乘以其点数（归一化后为概率），sum为其总和
sum+=(double)k *(double)pixelNum[k];
n+=pixelNum[k]; //n 为图象总的点数，归一化后就是累积概率
}
fmax=-1.0; //类间方差sb不可能为负，所以fmax初始值为-1不影响计算的进行
n1=0;
for(k =0;k<255;k++) //对每个灰度（从0到255）计算一次分割后的类间方差sb
{
n1+=pixelNum[k]; //n1 为在当前阈值遍前景图象的点数
if (n1==0){continue;} //没有分出前景后景
n2=n-n1; //n2 为背景图象的点数
//n2 为0表示全部都是后景图象，与n1=0情况类似，之后的遍历不可能使前景点数增加，所以此时可以退出循环
if (n2==0){break;}
csum+=(double)k*pixelNum[k]; //前景的“灰度的值*其点数”的总和
m1=csum/ n1; //m1 为前景的平均灰度
m2=(sum -csum)/ n2; //m2 为背景的平均灰度
sb=(double)n1*(double)n2*(m1-m2)*(m1- m2); //sb为类间方差
if (sb>fmax) //如果算出的类间方差大于前一次算出的类间方差
{
fmax=sb; //fmax 始终为最大类间方差（otsu）
threshValue =k; //取最大类间方差时对应的灰度的k就是最佳阈值
}
}
image.UnlockBits(bd);
image.Dispose();
returnthreshValue;
}
算法实现2：
Otsu算法步骤如下：
设图象包含L个灰度级(0,1…,L-1)，灰度值为i的的象素点数为Ni，图象总的象素点数为
N=N0+N1+...+N(L-1)。灰度值为i的点的概率为：P(i)= N(i)/N.
门限t将整幅图象分为暗区c1和亮区c2两类，则类间方差σ是t的函数：σ=a1*a2(u1-u2)^2(2)
式中，aj为类cj的面积与图象总面积之比，a1=sum(P(i))i->t,a2= 1-a1;
uj为类cj的均值，u1= sum(i*P(i))/a10->t,u2= sum(i*P(i))/a2,t+1->L-1,该法选择最佳门限t^
使类间方差最大，即：令Δu=u1-u2，σb = max{a1(t)*a2(t)Δu^2}
代码实现：
int otsu(IplImage*image,int rows,int cols,int x0,int y0,int dx,int dy,int vvv)
{
unsignedchar*np;// 图像指针
int thresholdValue=1;// 阈值
int ihist[256]; // 图像直方图，256个点
int i, j,k;// variouscounters
int n,n1,n2,gmin,gmax;
doublem1,m2,sum,csum,fmax,sb;
// 对直方图置零
memset(ihist,0,sizeof(ihist));
gmin=255;gmax=0;
// 生成直方图

for(j=y0;j
{
for(i=0;i
{
unsignedchartemp=CV_IMAGE_ELEM(image,uchar,j,i);
ihist[temp]++;
}
}
//setupeverything
sum=csum=0.0;
n=0;
for(k=0;k<=255;k++)
{
sum+=(double)k*(double)ihist[k]; //x*f(x)质量矩
n+=ihist[k]; //f(x) 质量
}
if (!n)
{
//if nhasnovalue,thereis problems
fprintf(stderr,"NOTNORMALthresholdValue=160\n");
return(160);
}
//dotheotsuglobalthresholdingmethod
fmax=-1.0;
n1=0;
for(k=0;k<255;k++)
{
n1+=ihist[k];
if (!n1){continue;}
n2=n-n1;
if (n2==0){break;}
csum+=(double)k*ihist[k];
m1=csum/n1;
m2=(sum-csum)/n2;
sb=(double)n1*(double)n2*(m1-m2)*(m1-m2);

if (sb>fmax){
fmax=sb;
thresholdValue=k;
}
}
//atthis pointwehaveourthresholdingvalue，debugcodetodisplaythresholdingvalues
if (vvv&1)
fprintf(stderr,"#OTSU:thresholdValue=%dgmin=%dgmax=%d\n",thresholdValue,gmin,gmax);
return(thresholdValue);
}

简称OTSU。它是按图像的灰度特性,将图像分成背景和目标2部分。背景和目标之间的类间方差
越大,说明构成图像的2部分的差别越大,当部分目标错分为背景或部分背景错分为目标都会导致2部
分差别变小。因此,使类间方差最大的分割意味着错分概率最小。
对于图像I(x,y),前景(即目标)和背景的分割阈值记作T,属于前景的像素点数占整幅图像的比
例记为ω0,其平均灰度μ0;背景像素点数占整幅图像的比例为ω1,其平均灰度为μ1。图像的总平均
灰度记为μ,类间方差记为g。
假设图像的背景较暗,并且图像的大小为M×N,
图像中像素的灰度值小于阈值T的像素个数记作N0,像素灰度大于阈值T的像素个数记作N1,则有:
　　　　　　ω0=N0/M×N