title: 【线性代数】4-2:投影(Porjections)
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• Mathematic
• Linear Algebra
  keywords:
• Projections
• Projection Onto a Subspace
  toc: true
  date: 2017-10-17 09:28:46

Abstract: 本篇主要介绍的就是向量的映射，以映射到直线为引导，重点在于映射到子空间。
Keywords: Projections，Projection Onto a Subspace

开篇废话

开篇废话，喜迎十九大，嚯嚯哈哈。

Projections

映射，投影，感觉怎么翻译都不太对，总能想到函数，不过好像在这部分，投影矩阵和函数的功能非常类似。在典型的三维正交基向量空间内，一个向量的投影到一个平面上一般是下面这种形式：

向量b投影到xy平面，和b投影到z轴的一种几何上的反应，当然超过三维，就没办法画出来的，但是原理都一样，通过垂直（正交），将不在子空间的向量转换到子空间内最接近原始向量 b⃗\vec{b}b 的投影向量 b⃗^\hat{\vec{b}}b^来近似原始向量，这种方法在最小二乘法中得到了完美的应用，以及后面将要做的一些分解，上一篇提到的split（分解到子空间的split），都可以利用projection的原理。
继续解读上图，向量被分级到了正交的两个子空间，xy平面，和z轴，这两个子空间互为orthogonal complements，并且满足下面两种关系：
p1⃗+p2⃗=b⃗P1+P2=I \vec{p_1}+\vec{p_2}=\vec{b}\\ P_1+P_2=I p1​​+p2​​=bP1​+P2​=I
第一个式子就是个典型的split，比如物理里面力的分解，速度分解，都是把向量分解到你想要的方向，然后我们把向量分解到orthogonal complements的子空间中，就得到了我们想要的projection
第二个式子是projection matrix之间的关系，这里可以轻易的看出来，映射到xy平面P1=[100010000]P_1=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}P1​=⎣⎡​100​010​000​⎦⎤​，同理到z轴的就是P2=[000000001]P_2=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}P2​=⎣⎡​000​000​001​⎦⎤​，可以看出P1+P2=IP_1+P_2=IP1​+P2​=I
。

Projection Onto a Line（映射到直线）

Dot product to Projections

把一个向量 b⃗\vec{b}b 映射到一条直线aaa，等价于问题类似于把一个向量projection到另一个向量上，这个和我们之前学习的dot product有点像，如果
when ∣i⃗∣=1b⃗⋅i⃗=∣b⃗∣∣i⃗∣cos(θ)=∣b⃗∣cos(θ) when\,|\vec{i}|=1\\ \vec{b} \cdot \vec{i}=|\vec{b}||\vec{i}|cos(\theta)=|\vec{b}|cos(\theta) when∣i∣=1b⋅i=∣b∣∣i∣cos(θ)=∣b∣cos(θ)
其中夹角就是下图中 θ\thetaθ

可以看到映射到向量a上等价于和a方向上的单位向量dot product,假设 p⃗\vec{p}p​ 是 b⃗\vec{b}b 的投影结果，那么 i⃗=a⃗∣a⃗∣\vec{i}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}i=∣a∣a​
∣p⃗∣=∣b⃗∣cos(θ)=b⃗⋅i⃗=b⃗⋅a⃗∣a⃗∣p⃗=∣p⃗∣i⃗=∣p⃗∣a⃗∣a⃗∣so:p⃗=b⃗⋅a⃗∣a⃗∣∣a⃗∣a⃗ |\vec{p}|=|\vec{b}|cos(\theta)=\vec{b} \cdot \vec{i}=\vec{b} \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\\ \vec{p}=|\vec{p}|\vec{i}=|\vec{p}|\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\\ so:\\ \vec{p}=\frac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{|\vec{a}||\vec{a}|}\vec{a} ∣p​∣=∣b∣cos(θ)=b⋅i=b⋅∣a∣a​p​=∣p​∣i=∣p​∣∣a∣a​so:p​=∣a∣∣a∣b⋅a​a
把向量中的dot product都换成转置相乘的模式就得到了
p⃗=b⃗Ta⃗a⃗Ta⃗a⃗ \vec{p}=\frac{\vec{b}^T\vec{a}}{\vec{a}^T \vec{a}}\vec{a} p​=aTabTa​a

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