【动态规划】有后效性 DP

P3232 [HNOI2013]游走

Description\text{Description}Description

给定一个 nnn 个点 mmm 条边的无向连通图。从 111 号节点出发，每一步以相等的概率随机选择当前节点连出去的某条边，经过这条边走到下一个节点，获得等于这条边的编号的分数。到达 nnn 号顶点时结束。请对这 mmm 条边进行编号，使得获得的总分的期望值最小。

Solution\text{Solution}Solution

考虑 dp\rm dpdp，设 fuf_ufu 表示到达节点 uuu 的期望次数，gig_igi 表示经过边 iii 的期望次数，dud_udu 表示节点 uuu 的度数。

对于图中的一条边 (u,v)(u,v)(u,v)，vvv 连出去 dvd_vdv 条边，只有一种情况会经过 (u,v)(u,v)(u,v)，所以有 fvdv\dfrac{f_v}{d_v}dvfv 种。

还要注意：

由于到 nnn 号点就停了，因此 nnn 号点对答案没有贡献，因此 u,vu,vu,v 都不能为 nnn。
一开始就在一号点，所以 f1f_1f1 初始值为 111。

所以有
fu={∑(u,v)∈E,v≠nfvdv+1u=1∑(u,v)∈E,v≠nfvdvu≠1,u≠nf_u= \begin{cases} \sum\limits_{(u,v)\in E,v\ne n}\dfrac{f_v}{d_v}+1&u=1\\ \sum\limits_{(u,v)\in E,v\ne n}\dfrac{f_v}{d_v}&u\ne1,u\ne n \end{cases} fu=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧(u,v)∈E,v=n∑dvfv+1(u,v)∈E,v=n∑dvfvu=1u=1,u=n
对于边 (u,v)(u,v)(u,v)，有可能是从 uuu 过来的，也有可能是从 vvv 过来的。

即
g(u,v)=fudu+fvdvu≠n,v≠ng_{(u,v)}=\dfrac{f_u}{d_u}+\dfrac{f_v}{d_v}\quad u\ne n,v\ne n g(u,v)=dufu+dvfvu=n,v=n
然后将 ggg 进行排序，贪心地选择即可。

但是我们发现一个问题，fvf_vfv 可以推到 fuf_ufu，而更新后的 fuf_ufu 又能推到 fvf_vfv，这样就没法处理了。我们把这种问题称为 有后效性 dp\rm dpdp。

怎么处理呢？

我们举个例子，假设是这样一张图：

除 555 号点之外：
{f1=f2d2+f3d3+1f2=f1d1+f4d4f3=f1d1f4=f2d2\begin{cases} f_1=\dfrac{f_2}{d_2}+\dfrac{f_3}{d_3}+1\\ f_2=\dfrac{f_1}{d_1}+\dfrac{f_4}{d_4}\\ f_3=\dfrac{f_1}{d_1}\\ f_4=\dfrac{f_2}{d_2} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧f1=d2f2+d3f3+1f2=d1f1+d4f4f3=d1f1f4=d2f2
我们整理一下这个方程组：
{1⋅f1−1d2⋅f2−1d3⋅f3+0⋅f4=1−1d1⋅f1+1⋅f2+0⋅f3−1d4⋅f4=0−1d1⋅f1+0⋅f2+1⋅f3+0⋅f4=00⋅f1−1d2⋅f2+0⋅f3+1⋅f4=0\begin{cases} 1\cdot f_1-\dfrac{1}{d_2}\cdot f_2-\dfrac{1}{d_3}\cdot f_3+0\cdot f_4=1\\ -\dfrac{1}{d_1}\cdot f_1+1\cdot f_2+0\cdot f_3-\dfrac{1}{d_4}\cdot f_4=0\\ -\dfrac{1}{d_1}\cdot f_1+0\cdot f_2+1\cdot f_3+0\cdot f_4=0\\ 0\cdot f_1-\dfrac{1}{d_2}\cdot f_2+0\cdot f_3+1\cdot f_4=0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1⋅f1−d21⋅f2−d31⋅f3+0⋅f4=1−d11⋅f1+1⋅f2+0⋅f3−d41⋅f4=0−d11⋅f1+0⋅f2+1⋅f3+0⋅f4=00⋅f1−d21⋅f2+0⋅f3+1⋅f4=0
这就是一个 (n−1)(n-1)(n−1) 元一次方程组，高斯（-约旦）消元即可。

时间复杂度 O(n3)\mathcal{O}(n^3)O(n3)。

Code\text{Code}Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
typedef double db;
using namespace std;const int MAXN = 505;
const int MAXM = 125005;int cnt;
int head[MAXN], st[MAXM], ed[MAXM], d[MAXN];struct edge
{int to, nxt;
}e[MAXM << 1];void add(int u, int v)
{e[++cnt] = edge{v, head[u]};head[u] = cnt;d[u]++;
}int n, m;
db a[MAXN][MAXN];
db f[MAXN], g[MAXM];void Gauss_Jordan()
{for (int i = 1; i <= n; i++){int mx = i;for (int j = i + 1; j <= n; j++){if (fabs(a[j][i]) > fabs(a[mx][i])){mx = j;}}if (mx != i){swap(a[i], a[mx]);}for (int j = 1; j <= n; j++){if (j != i){db val = a[j][i] / a[i][i];for (int k = i + 1; k <= n + 1; k++){a[j][k] -= a[i][k] * val;}}}}for (int i = 1; i <= n; i++){f[i] = a[i][n + 1] / a[i][i];}
}bool cmp(double x, double y)
{return x > y;
}int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= m; i++){scanf("%d%d", st + i, ed + i);add(st[i], ed[i]);add(ed[i], st[i]);}n--;for (int u = 1; u <= n; u++){a[u][u] = 1;for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt){int v = e[i].to;if (v != n + 1){a[u][v] = -1.0 / d[v];}}if (u == 1){a[u][n + 1] = 1;}}Gauss_Jordan();for (int i = 1; i <= m; i++){g[i] = f[st[i]] / d[st[i]] + f[ed[i]] / d[ed[i]];}sort(g + 1, g + m + 1, cmp);db ans = 0;for (int i = 1; i <= m; i++){ans += i * g[i];}printf("%.3lf\n", ans);return 0;
}

练习：CF24D Broken robot