线性同余方程

1.同余方程

2.青蛙的约会

3.最幸运的数字

4.曹冲养猪

矩阵乘法

1.斐波那契前 n 项和

线性同余方程

用扩展欧几里得算法来求线性同余方程

ax+by=1

则解除的x,y有多组解为

x=x0+k*b

y=y0-k*a 其中x0和y0是解出来的解,k是整数

则最小正整数解为x0%b,y0%a

扩展欧几里得模板

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//拓展欧几里得求ax+by=d的方程
{if(!b){x=1,y=0;return a;}int d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;
}

1.同余方程

203. 同余方程 - AcWing题库

ax=1(mod b)转化为ax+by=1，则直接用拓展欧几里得算法即可求x,y，最小x解为x0%b

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+10;
int prime[N],cnt;
bool st[N];
int phi[N];
ll s[N];//记录欧拉函数的前缀和
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//拓展欧几里得求ax+by=d的方程
{if(!b){x=1,y=0;return a;}int d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;
}
int main()
{int a,b;cin>>a>>b;int x,y;exgcd(a,b,x,y);//求x,ycout<<((x%b)+b)%b<<endl;//输出mo出来是正的数return 0;
}

2.青蛙的约会

222. 青蛙的约会 - AcWing题库

两个青蛙相距b-a米，而每次能缩小跳m-n米，问至少跳多少次使得两个青蛙碰面

设跳了t次，则跳过的距离为t*(m-n)米，又因为是个圈，则设绕了y圈，若相遇则总的米数为

t*(m-n)=(b-a)+y*l，则直接用扩展欧几里得可得t0，则最小的t为t0%l/d

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//拓展欧几里得求ax+by=d的方程
{if(!b){x=1,y=0;return a;}ll d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;
}
int main()
{ll a,b,n,m,l;cin>>a>>b>>m>>n>>l;ll x,y;ll d=exgcd(m-n,l,x,y);if((b-a)%d) puts("Impossible");//假如b-a不是公约数else{x*=(b-a)/d;//将x扩大相应的倍数ll t=abs(l/d);//将d除过来，让右边为1，才能用t0%b为最小这个定里cout<<((x%t)+t)%t<<endl;//输出最小结果}return 0;
}

3.最幸运的数字

202. 最幸运的数字 - AcWing题库

龟速乘解决乘法爆longlong的情况

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll get_euler(ll c)//获取一个数的欧拉数
{ll res=c;for(ll i=2;i<=c/i;i++)if(c%i==0){while(c%i==0) c/=i;res=res/i*(i-1);//套欧拉函数的公式}if(c>1) res=res/c*(c-1);return res;
}
ll qmul(ll a,ll k,ll p)//龟速乘
{ll res=0;while(k){if(k&1) res=(res+a)%p;a=(a+a)%p;k>>=1;}return res;
}
ll qmi(ll a,ll k,ll p)//快速幂
{ll res=1;while(k){//res=(__int128_t)res*a%p也行if(k&1) res=qmul(res,a,p);//因为乘法会爆ll,所以用龟速乘//a=(__int128_t)a*a%p也行a=qmul(a,a,p);//因为乘法会爆ll,所以用龟速乘k>>=1;}return res;
}
int main()
{int T=1;ll l;while(cin>>l,l){int d=1;while(l%(d*2)==0&&d*2<=8) d*=2;ll c=9*l/d;//获取要整除的Cll phi=get_euler(c);//获取他的欧拉数ll res=1e18;if(c%2==0||c%5==0) res=0;//假如跟10不互质，则没答案for(ll d=1;d*d<=phi;d++)//枚举欧拉数的所有约数if(phi%d==0)//假如这个是约数了{if(qmi(10,d,c)==1) res=min(res,d);//判断符不符合条件if(qmi(10,phi/d,c)==1) res=min(res,phi/d);//判断符不符合条件}printf("Case %d: %lld\n",T++,res);}return 0;
}

__int128_t解决乘法爆longlong的情况

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll get_euler(ll c)
{ll res=c;for(ll i=2;i<=c/i;i++)if(c%i==0){while(c%i==0) c/=i;res=res/i*(i-1);}if(c>1) res=res/c*(c-1);return res;
}
ll qmi(ll a,ll k,ll p)
{ll res=1;while(k){if(k&1) res=(__int128_t)res*a%p;a=(__int128_t)a*a%p;k>>=1;}return res;
}
int main()
{int T=1;ll l;while(cin>>l,l){int d=1;while(l%(d*2)==0&&d*2<=8) d*=2;ll c=9*l/d;ll phi=get_euler(c);ll res=1e18;if(c%2==0||c%5==0) res=0;for(ll d=1;d*d<=phi;d++)if(phi%d==0){if(qmi(10,d,c)==1) res=min(res,d);if(qmi(10,phi/d,c)==1) res=min(res,phi/d);}printf("Case %d: %lld\n",T++,res);}return 0;
}

4.曹冲养猪

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

中国剩余定理

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=11;
int A[N],B[N];
int n;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//用扩展欧几里得求逆元
{if(!b){x=1,y=0;return a;}ll d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;
}
int main()
{cin>>n;ll M=1,res=0;for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d%d",&A[i],&B[i]);M*=A[i];//处理所有的乘积}for(int i=0;i<n;i++){ll Mi=M/A[i];//获取Mill ti,x;exgcd(Mi,A[i],ti,x);//求Mi的逆元tires+=B[i]*Mi*ti;//图片中有讲答案加上即可}cout<<((res%M)+M)%M<<endl;//输出正的模余数return 0;
}

矩阵乘法

1.斐波那契前 n 项和

1303. 斐波那契前 n 项和 - AcWing题库

信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统 (ssoier.cn)

因为数很大不能直接用公式fn=fn-1+fn-2求，得用矩阵乘法来求

定义一个矩阵Fn=[fn,fn+1]

这题构造一个Fn=【fn,fn+1,sn】的矩阵，是前 fn项和，则A矩阵如下：

然后A的n-1次方用快速幂求出来就行了，logn的时间

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3;
int n,m;
void mul(int c[],int a[],int b[][N])
{int temp[N]={0};for(int i=0;i<N;i++)//矩阵乘法for(int j=0;j<N;j++)temp[i]=(temp[i]+(ll)a[j]*b[j][i])%m;memcpy(c,temp,sizeof temp);
}
void mul(int c[][N],int a[][N],int b[][N])
{int temp[N][N]={0};for(int i=0;i<N;i++)//矩阵乘法for(int j=0;j<N;j++)for(int k=0;k<N;k++)temp[i][j]=(temp[i][j]+(ll)a[i][k]*b[k][j])%m;memcpy(c,temp,sizeof temp);
}
int main()
{cin>>n>>m;int f1[N]={1,1,1};//f1为1时的矩阵int a[N][N]={{0,1,0},{1,1,1},{0,0,1}};//a矩阵n--;//求Fn-1while(n){if(n&1) mul(f1,f1,a);//res=res*amul(a,a,a);//a=a*a;n>>=1;}cout<<f1[2]<<endl;//输出Fn-1的中的f(n-1)+1=fnreturn 0;
}