方格网的填方和挖方计算

江苏省地质测绘院姜法明

土方量的计算是建筑工程施工的一个重要步骤。计算土方量常用的方法有：方格网法、等高线法、断面法、DTM法、区域土方量平衡法和平均高程法等。
方格网法计算结果精度低，只适用于较为平坦的平原区和地形起伏不大的场地，但方格网法计算成果形成的图形直观、好看，所以是用的最多一种方法。方格网法又分为实测法和数据拟合法，实测法是在实地放样定点测量高程，外业工作量很大，但并不能提高计算结果的精度，所以用的较少；数据拟合法是在外业采集高程变化的特征点，计算时先组建不规则三角网(TIN)，再在TIN网中解算网格点的高程。
在对一个网格进行计算前，先通过转向，使高程最大的点为A点，B、C、D点为顺时针方向。
1、一个方格网的填方和挖方计算
方格网法计算填方和挖方均采用近似的计算公式，先确定网格中填方和挖方的分界线，计算填方和挖方的底面积和平均工程高度，从而计算出填方量和挖方量。方格网法计算填方和挖方可分为五种情况。

图1: 边长L=10米
1.1全部为挖方
如图1：设：底标高H0=5.5米
四个点的工程高度：Ha=10-5.5=4.5米
Hb=9-5.5=3.5米
Hc=6-5.5=0.5米
Hd=7-5.5=1.5米
面积 A=L*L=100 米2
挖方量 Vw= A *(Ha+Hb+Hc+Hd)/4=250米3
1.2全部为填方
如图1：设：底标高H0=11米
四个点的工程高度：Ha=11-10=1.0米
Hb=11-9=2.0米
Hc=11-6=5.0米
Hd=11-7=4.0米
面积 A =L*L=100 米2
填方量 Vt= A *(Ha+Hb+Hc+Hd)/4=300米3
1.3 A、B两点为挖方，C、D两点为填方
（A、D两点为挖方，B、C两点为填方计算方法相同）

图2: 边长L=10米
如图2：设：底标高H0=8米
四个点的工程高度：Ha=10-8=2.0米
Hb=9-8=1.0米
Hc=8-6=2.0米
Hd=8-7=1.0米
下图是一个10米*10米*10米的正方体，被ABCD倾斜面截断，形成棱柱不等高的四棱柱，其中A点棱柱高10米、B点棱柱高9米、C点棱柱高6米、D点棱柱高7米，再与高程为8米的平面A’B’C’D’相交，得到挖方部份台体ABP2P1A’B’和填方部份台体CDP1P2C’D’，由于数据的特殊性，填方和挖方部份的底面积刚好是正方体的一半，各50平方米。

设：网格边长L=10米
网格底面积 A0=100米2
A点施工高度 Ha=10-8=2米
B点施工高度 Hb=10-9=1米
C点施工高度 Hc=8-6=2米
D点施工高度 Hd=8-7=1米
1.3.1按台体计算公式计算
把上图的填方区域左转90度，则如下图：

其中：C’P2=S*Hc/(Hc+Hb)=10*2/(2+1)=6.6666米
C’C=Hc=2米
三角形CC’P2的面积 A1=2*6.6666/2=6.6667米2
D’P1=L*Hd/(Hd+Ha)=10*1/(1+2)=3.3333米
DD’=Hd=1米
三角形DD’P1的面积 A2=1*3.3333/2=1.6667米2
填方量=台体的体积
V=L*( A1+ A2+sqr(A1* A2))/3
=10*(6.6667+1.6667+sqr(6.6667*1.6667))/3
=38.89米3
1.3.2划分为二个三棱柱计算
把填方区划分为二个三棱柱，P1P2C、PCD

这时底面积直接从CAD图上获取，省略计算过程。
三棱柱 P1P2C的填方量=33.3334*（2+0+0）/3=22.22米3
三棱柱 P1CD的填方量=16.6667*（0+2+1）/3=16.67米3
总填方量=22.22+16.67=38.89米3
1.3.3按底面积*平均棱柱长来计算
填方量=50*（1+2+0+0）/4=37.50米3
1.3.4按近似的台体公式计算
填方量=L*（A1+ A2）/2=10*(6.6667+1.6667)/2=41.67米3
从上面的结果表明：三棱柱的计算公式是正确的，计算结果与台体计算结果相同；按底面积*平均棱柱长来计算的结果误差为3.6%；按简化的台体公式计算的误差最大，为7.1%。
1.4 AC两点是挖方，BD两点是填方
这种情报况是最为复杂的，不同的划分方法对计算结果影响很大。
以两个高点连线划分如下图：

以两个低点连线划分如下图：

下面列出三种不同划分方法的计算结果
1当底标等于平均高时，添加中心点，中心点的高度等于平均高度，把网格分成4个三角形进行计算，如图2-1；
2当底标高大于平均高时，以两个高点连线，把网格分成二个三角形进行计算，如图1-2；
3当底标高小于平均高时，以两个低点连线，把网格分成二个三角形进行计算，如图3-3；

理论上来说，应要求实地的情况进行划分。但实际工作中，利用软件来计算时很难做到，但当有很多网格时，因划分方法引起的误差会抵肖，整体误差没有这么大。
1.5 A点是挖，BCD是填方

***A点是最高点，不可能是填方。
如上图：设：底标高H0=9米
六个点的工程高度：Ha=10-9=1.0米
Hb=9-8=1.0米
Hc=9-7=2.0米
Hd=9-6=3.0米
Hp1=9-9=0米
Hp2=9-9=0米
挖方量Vw=L2Ha3/[6(Ha+Hb ) (Ha+Hd)]=2.08米3
边长 Ap1=L*Ha/(Ha+Hb)
Ap2=L*Ha/(Ha+Hd)
面积 A= L*Ha/(Ha+Hb)*L*Ha/(Ha+Hd)/2
体积 V=A*(Ha+Hp1+Hp2)/3=L2Ha3/[6(Ha+Hb ) (Ha+Hd)]

填方量 Vt=L2（2*hb+hc+2*hd-ha）/6+Vw
=100(2*1+2+2*3-1)/6+2.08
=152.08米3

其挖方部分土方量为:
Vbcd=L2（2*hb+hc+2*hd-ha）/6+Vw
=a*a*(h1+h2+h3)/6
=a*a*(h1+h3+h4)/6

2三棱柱的计算公式的验证
2.1把正方体划分为4个棱长不相等的三棱柱计算结果不变
正方体的体积=10*10*10=1000米3

1：ADCAD’C’ V1=50*(0+4+3)/3=116.67
2: AD’C’A’D’’C’’ V2=50*((10+6+7)/3=383.33
3: ACBAC’B’ V3=50*(0+1+4)/3=83.33
4: AC’B’A’B’’C’’V4=50*(10+9+6)/3=416.67
V1+V2+V3+V4=1000 米3
2.2把一个三棱柱划分成多个三棱柱计算结果不变

三棱柱ABCA’B’C’ V0=50*(10+6+7)/3=383.33米3
三棱柱P1CBP1’C’B’V1=16.6667*(6+7+8)/3=116.67米3
三棱柱P2CP1P2’C’P1’V2=16.6667*(9+6+8)/3=127.78米3
三棱柱ACP2A’C’P20’V3=16.6667*(10+6+9)/3=138.33米3
v1+v2+v3=383.33米3

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