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广义预测控制(GPC)
1．GPC基本原理介绍
广义预测控制 (GPC) 是牛津大学的Clarke等于1987年提出的，基于参数模型，它是以(CARIMA)受控自回归积分滑动平均模型的基础，并结合辨识和自校正机制，表现出良好的鲁棒性。特点：
(1)基于CARIMA模型；
(2)目标函数中对控制增量加权的考虑；
(3)利用输出的远程预报；
(4)控制时域长度概念的引入；
(5)丢番图方程的递推求解；
1.1 预测模型
假设系统基于下面的CARIMA模型，
其中，和是系统的输出、输入和干扰信号。
，
，
，(是向后移时间算子)，模型即
，
是系数，用数据辨识得到。
为得到的步向前预测值，考虑下面的丢番图方程组：
(2)
简写成：，其中和为待求多项式，，
，，
(3)
将(2)代入(3)得：
(4)
得到未来输出的预测值：
(5)
为将中已知信息和未知信息分离开来，在考虑另一组丢番图方程： (6)
其中和为待求多项式，，
，，
将(6)代入(5)得：
(7)
求解的递推算法：
在利用MATLAB仿真时，可以自编函数简化之。
丢番图方程的求解：对于，其中
其中m≤n。
这一类丢番图方程，多项式和的阶次应分别等于多项式和的阶次。下面将方程写成矩阵的形式，
有唯一解的条件是多项式和互质。这个方程的求解看起来比较困难，但用MATLAB语言很容易编写通用的求解函数，因为MATLAB求解矩阵方程可以直接用矩阵除法。
function [X,Y]=dio(A,B,C);
AAA=[];A1=A(:);B1=B(:);
n=length(B)-1;m=length(A)-1;k=1;
for i=1:n,AAA(i:i+m,k)=A1;k=k+1;end
for i=1:m,AAA(i:i+n,k)=B1;k=k+1;end
C1=zeros(n+m,1);C1(1:length(C))=C(:);x=AAA\C1;
X=x(1:n)';Y=x(n+1:end)';
反复调用这个函数，可以简化的求解(见源程序1)。
为预测步长，引入一个控制步长，并假设时，。
令，，
则由(7)式得：
其中
1.2 跟踪轨迹
(13)
其中为当前的设定值，为柔化因子。
令
1.3 滚动优化
目标函数为：
(14)
写成向量形式：
(15)
将(12)代入(15)得：
(16)
令得：
取的第一个分量，可得到当前的控制量：
(17)
1.4 反馈校正
GPC的反馈校正主要是通过在线辨识模型A,B中的系数构成自校正算法来实现的。
假设A,B未知或慢时变。设模型为：
(18)
(19)
其中为系数向量。
为数据向量。
取，则最小二乘法有：
(20)
(21)
2．GPC算法流程
2.1 定常GPC
给定控制参数以及一些初值，并由A,B计算， 当采样时刻到来时：
(1) 采样得；
(2) 计算；
(3) 计算；
(4) 求控制量；
(5) 数据回归；
(6) 转(1)。
2.2 自适应GPC
给定控制参数以及一些初值，估计算法参数，当采样时刻到来时：
(1) 采样得；
(2) 在线计算；
(3) 用代替公式中的A,B并计算；
(4) 计算；
(5) 计算；
(6) 求控制量；
(7) 数据回归；
(8) 转(1)。
3．仿真研究
取被控模型为：
即
取初值，取上的随机数。
4. Matlab编程仿真
4.1有噪声,加入干扰
4.1.1 定常
(1) ， 时，结果如下：
(2) ， 时，结果如下：
(5)无噪声， 时，结果如下：
4.1.2 自校正
(1) 时，结果如下：
(3) 时，结果如下：
(5) 有噪声,加入干扰, 时，结果如下：
5．程序说明
其中程序 定常.m 为定常状态下主程序，自适应.m为自适应状态下的主程序。
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