传输线理论知识理解与总结(一)

∙\bullet∙传输线理论基础
与电路理论相比，传输线理论主要区别是电长度尺寸。在电路理论中，由于工作频率低，电长度远远大于电路尺寸，因此认为电路里电压电流幅度和相位不变（可以理解为，地球表面是圆的，但是对于我们来说由于地球半径太大，所以我们看到的地球表面是平的）。而传输线理论是讨论电长度与电路尺寸相当或小于电路尺寸，假设电路激励信号为正弦信号，在电路上存在信号的幅度和相位的变化，需要用分布参量理论来讨论。
如下图，用双线来表示传输线

RRR表示两导体单位长度串联电阻，单位为Ω/mΩ/mΩ/m
LLL表示两导体单位长度串联电感，单位为H/mH/mH/m
CCC表示两导体单位长度并联电容，单位为F/mF/mF/m
GGG表示两导体单位长度并联电导，单位为S/mS/mS/m

由KCL+KVL:
−U(z)+I(z)(R1dz+jwL1dz)+U(z)+dU(z)=0-U(z)+I(z)(R_1dz+jwL_1dz)+U(z)+dU(z)=0−U(z)+I(z)(R1dz+jwL1dz)+U(z)+dU(z)=0−I(z)+[U(z)+dU(z)](G1dz+jwC1dz)+I(z)+dI(z)=0-I(z)+[U(z)+dU(z)](G_1dz+jwC_1dz)+I(z)+dI(z)=0−I(z)+[U(z)+dU(z)](G1dz+jwC1dz)+I(z)+dI(z)=0
整理得:(注意:jwC1是C1电导jwC_1是C_1电导jwC1是C1电导,对于上面第二个式子整理得dI(z)dz=−[U(z)+dU(z)](G1+jwC1),dz趋于0,dU(z)=0对于上面第二个式子整理得\frac{dI(z)}{dz}=-[U(z)+dU(z)](G_1+jwC_1),dz趋于0,dU(z)=0对于上面第二个式子整理得dzdI(z)=−[U(z)+dU(z)](G1+jwC1),dz趋于0,dU(z)=0)
dU(z)dz=−I(z)(R1+jwL1)\frac{dU(z)}{dz}=-I(z)(R_1+jwL_1)dzdU(z)=−I(z)(R1+jwL1)dI(z)dz=−U(z)(G1+jwC1)\frac{dI(z)}{dz}=-U(z)(G_1+jwC_1)dzdI(z)=−U(z)(G1+jwC1)
可以进一步整理:
dU2(z)dz2=U(z)(R1+jwL1)(G1+jwC1)\frac{dU^2(z)}{dz^2}=U(z)(R_1+jwL_1)(G_1+jwC_1)dz2dU2(z)=U(z)(R1+jwL1)(G1+jwC1)
记γ2\gamma^2γ2=(R1+jwL1)(G1+jwC1)(R_1+jwL_1)(G_1+jwC_1)(R1+jwL1)(G1+jwC1),有:
dU2(z)dz2−γ2U(z)=0\frac{dU^2(z)}{dz^2}-\gamma^2U(z)=0dz2dU2(z)−γ2U(z)=0
解该齐次方程组可以得:
U(z)=U+e−γz+U−eγzU(z)=U^+e^{-\gamma z}+U^-e^{\gamma z}U(z)=U+e−γz+U−eγz
对上式求微分并除以−(R1+jwL1)-(R_1+jwL_1)−(R1+jwL1)可以求出III:
I(z)=γR1+jwL1(U+e−γz−U−eγz)I(z)=\frac{\gamma}{R_1+jwL_1}(U^+e^{-\gamma z}-U^-e^{\gamma z})I(z)=R1+jwL1γ(U+e−γz−U−eγz)若记Z0=R1+jwL1γZ_0=\frac{R_1+jwL_1}{\gamma}Z0=γR1+jwL1,有I(z)=U+Z0e−γz−U−Z0eγzI(z)=\frac{U^+}{Z_0}e^{-\gamma z}-\frac{U^-}{Z_0}e^{\gamma z}I(z)=Z0U+e−γz−Z0U−eγz
其中Z0Z_0Z0记为该传输线的特征阻抗,Z0=R1+jwL1γZ_0=\frac{R_1+jwL_1}{\gamma}Z0=γR1+jwL1=R1+jwL1G1+jwC1\sqrt\frac{{R_1+jwL_1}}{G_1+jwC_1}G1+jwC1R1+jwL1 ;
总结一下, 分析传输线理论我们可以定义出一个无穷小的长度dzdzdz,可以近似将该段长度的传输线运用电路理论进行分析,并且得到该段长度传输线电压以及电流的解为:
U(z)=U+e−γz+U−eγzU(z)=U^+e^{-\gamma z}+U^-e^{\gamma z}U(z)=U+e−γz+U−eγzI(z)=U+Z0e−γz−U−Z0eγzI(z)=\frac{U^+}{Z_0}e^{-\gamma z}-\frac{U^-}{Z_0}e^{\gamma z}I(z)=Z0U+e−γz−Z0U−eγz
特征阻抗为:
Z0=R1+jwL1γ=R1+jwL1G1+jwC1Z_0=\frac{R_1+jwL_1}{\gamma}=\sqrt\frac{{R_1+jwL_1}}{G_1+jwC_1}Z0=γR1+jwL1=G1+jwC1R1+jwL1
传播常数γ=α+jβ=(R1+jwL1)(G1+jwC1)\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{(R_1+jwL_1)(G_1+jwC_1)}γ=α+jβ=(R1+jwL1)(G1+jwC1)
也可以由:I+=U+Z0I^+=\frac{U^+}{Z_0}I+=Z0U+得出Z0=U+I+,Z_0=\frac{U^+}{I^+},Z0=I+U+,同理也可以得到Z0=−U−I−Z_0=-\frac{U^-}{I^-}Z0=−I−U− .
一段长度的传输线可以认为是很多上述电路的级联.上述的分析也可以用麦克斯韦方程组求出,无耗传输线内的场分布满足如下关系:
Δ×Eˉ=−jwμHˉ\Delta\times \bar{E}=-jw\mu \bar{H}Δ×Eˉ=−jwμHˉΔ×Hˉ=jwϵEˉ\Delta\times \bar{H}=jw\epsilon \bar{E}Δ×Hˉ=jwϵEˉ
也可以得出:
∂2Eˉ∂t2+w2μϵEˉ=0\frac{\partial^2\bar{E}}{\partial t^2}+w^2\mu\epsilon\bar{E}=0∂t2∂2Eˉ+w2μϵEˉ=0
传播常数γ=jβ=jwμϵ,β=wμϵ\gamma=j\beta=jw\sqrt{\mu\epsilon},\beta=w\sqrt{\mu\epsilon}γ=jβ=jwμϵ,β=wμϵ.同时考虑对于无耗传输线来说 ,R1=G1=0R_1=G_1=0R1=G1=0,有γ=jβ=(R1+jwL1)(G1+jwC1)=jwL1jwC1=jwL1C1\gamma=j\beta=\sqrt{(R_1+jwL_1)(G_1+jwC_1)}=\sqrt{jwL_1jwC_1}=jw\sqrt{L_1C_1}γ=jβ=(R1+jwL1)(G1+jwC1)=jwL1jwC1=jwL1C1

∙\bullet∙端接负载的无耗传输线
由上述可知对于一段无耗传输线,满足如下关系:
U(z)=U+e−jβz+U−ejβzU(z)=U^+e^{-j\beta z}+U^-e^{j\beta z}U(z)=U+e−jβz+U−ejβzI(z)=U+Z0e−jβz−U−Z0ejβzI(z)=\frac{U^+}{Z_0}e^{-j\beta z}-\frac{U^-}{Z_0}e^{j\beta z}I(z)=Z0U+e−jβz−Z0U−ejβzZ0=R+jwLγ=LCZ_0=\frac{R+jwL}{\gamma}=\sqrt\frac{{L}}{C}Z0=γR+jwL=CLγ=jβ=(R+jwL)(G+jwC)=jwLjwC=jwLC\gamma=j\beta=\sqrt{(R+jwL)(G+jwC)}=\sqrt{jwLjwC}=jw\sqrt{LC}γ=jβ=(R+jwL)(G+jwC)=jwLjwC=jwLC上述关系式是分析传输线的基础, 对于端接负载的无耗传输线如下图:

务必注意图中zzz坐标, ZLZ_LZL是在z=0z=0z=0.称Ui=U+e−jβzU_i=U^+e^{-j\beta z}Ui=U+e−jβz为该传输线的入射波.其时域表示为:Ui=U+cos(wt−βz)U_i=U^+cos(wt-\beta z)Ui=U+cos(wt−βz)定义波速为波传播过程中一个固定相位点的运动速度,也称相速,按此定义wt−βzwt-\beta zwt−βz=常数.
vp=dzdt=d(wt−常数)dt×1β=wβ=1μϵv_p=\frac{dz}{dt}=\frac{d(wt-常数)}{dt}\times\frac{1}{\beta}=\frac{w}{\beta}=\frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}}vp=dtdz=dtd(wt−常数)×β1=βw=μϵ1可以看出,vp>0v_p>0vp>0,这也是称U=U+e−jβzU=U^+e^{-j\beta z}U=U+e−jβz为该传输线的入射波的原因.另外,定义波长λ\lambdaλ为波在一个确定的时刻,两个相邻的极大值之间的距离[wt−βz]−[wt−β(z+λ)]=2π[wt-\beta z]-[wt-\beta (z+\lambda)]=2\pi[wt−βz]−[wt−β(z+λ)]=2π因此,λ=2πβ\lambda=\frac{2\pi}{\beta}λ=β2π    现在讨论负载ZlZ_lZl处的电压与电流,由U(z)=U+e−jβz+U−ejβzU(z)=U^+e^{-j\beta z}+U^-e^{j\beta z}U(z)=U+e−jβz+U−ejβzI(z)=U+Z0e−jβz−U−Z0ejβzI(z)=\frac{U^+}{Z_0}e^{-j\beta z}-\frac{U^-}{Z_0}e^{j\beta z}I(z)=Z0U+e−jβz−Z0U−ejβz得:U(0)=U0++U0−U(0)=U^+_0+U^-_0U(0)=U0++U0−I(0)=U0+Z0−U0−Z0I(0)=\frac{U^+_0}{Z_0}-\frac{U^-_0}{Z_0}I(0)=Z0U0+−Z0U0−
从而:ZL=U0I0=Z0U0++U0−U0+−U0−Z_L=\frac{U_0}{I_0}=Z_0\frac{U^+_0+U^-_0}{U^+_0-U^-_0}ZL=I0U0=Z0U0+−U0−U0++U0−U0+=ZL+Z0ZL−Z0U0−U^+_0=\frac{Z_L+Z_0}{Z_L-Z_0}U^-_0U0+=ZL−Z0ZL+Z0U0−
若记Γ=U0−U0+\Gamma =\frac{U^-_0}{U^+_0}Γ=U0+U0−,为电压反射系数,则有:Γ=ZL−Z0ZL+Z0\Gamma =\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}Γ=ZL+Z0ZL−Z0也可以得到:
ZL=1+Γ1−ΓZ0Z_L =\frac{1+\Gamma }{1-\Gamma }Z_0ZL=1−Γ1+ΓZ0于是:U(z)=U0+(e−jβz+Γejβz)U(z)=U^+_0(e^{-j\beta z}+\Gamma e^{j\beta z})U(z)=U0+(e−jβz+Γejβz)I(z)=U0+Z0(e−jβz−Γejβz)I(z)=\frac{U^+_0}{Z_0}(e^{-j\beta z}-\Gamma e^{j\beta z})I(z)=Z0U0+(e−jβz−Γejβz)
一定要注意,此时得Γ\GammaΓ是在z=0z=0z=0处的反射系数,即ΓL\Gamma _LΓL ,U0+U^+_0U0+也是z=0z=0z=0处的值.从上述表达式可以看出,线上的电压(电流)是由入射电压(电流)和在z=0z=0z=0处反射电压(电流)叠加而成的.电路设计中很多问题是由反射带来的.
    考虑到传送到负载的功率可以由负载电流和电压计算得到:
Pav=12Re[UI∗]=12∣U0+∣2Z0Re[1−Γ∗e−2jβz+Γ∗e2jβz+∣Γ2∣]=12∣U0+∣2Z0[1−∣Γ2∣]P_{av}=\frac {1}{2}Re[U I^*]=\frac{1}{2}\frac{|U^+_0|^2}{Z_0}Re [1-\Gamma ^*e^{-2j\beta z}+\Gamma ^*e^{2j\beta z}+|\Gamma ^2|]=\frac{1}{2}\frac{|U^+_0|^2}{Z_0}[1-|\Gamma ^2|]Pav=21Re[UI∗]=21Z0∣U0+∣2Re[1−Γ∗e−2jβz+Γ∗e2jβz+∣Γ2∣]=21Z0∣U0+∣2[1−∣Γ2∣]
可以看出因为反射存在,并非是所有的功率都传送给了负载.为了改善电路因为反射带来的问题,常常需要进行匹配进行解决,由公式可知Zl=Z0Z_l=Z_0Zl=Z0时Γ=0\Gamma =0Γ=0,为了满足这一条件通常需要设计匹配电路来完成.
    当传输线存在反射时,并不是所有的功率都传送给了负载,有一部分功率反射回来,称这种损耗为回波损耗RL,returnlossRL,return lossRL,returnloss,定义为:(单位为dBdBdB)RL=−20lg∣Γ∣RL=-20lg|\Gamma|RL=−20lg∣Γ∣
对U(z)=U0+(e−jβz+Γejβz)U(z)=U^+_0(e^{-j\beta z}+\Gamma e^{j\beta z})U(z)=U0+(e−jβz+Γejβz)进一步分析,
∣U(z)∣=∣U0+∣∣e−jβz+Γejβz∣=∣U0+∣∣e−jβz∣∣1+Γe−j2βz∣=∣U0+∣∣1+Γe−j2βz∣|U(z)|=|U^+_0||e^{-j\beta z}+\Gamma e^{j\beta z}|=|U^+_0||e^{-j\beta z}||1+\Gamma e^{-j2\beta z}|=|U^+_0||1+\Gamma e^{-j2\beta z}|∣U(z)∣=∣U0+∣∣e−jβz+Γejβz∣=∣U0+∣∣e−jβz∣∣1+Γe−j2βz∣=∣U0+∣∣1+Γe−j2βz∣
若记Γ=∣Γ∣ejϕ,ϕ\Gamma=|\Gamma|e^{j\phi},\phiΓ=∣Γ∣ejϕ,ϕ为反射系数的相位.则
∣U(z)∣=∣U0+∣∣1+∣Γ∣ej(ϕ−2βz)∣|U(z)|=|U^+_0||1+|\Gamma|e^{j(\phi-2\beta z)}|∣U(z)∣=∣U0+∣∣1+∣Γ∣ej(ϕ−2βz)∣
由上式可得,当ϕ−2βz=0时\phi-2\beta z=0时ϕ−2βz=0时
∣Umax∣=∣U0+∣∣1+∣Γ∣∣|U_{max}|=|U^+_0||1+|\Gamma||∣Umax∣=∣U0+∣∣1+∣Γ∣∣当ϕ−2βz=π时\phi-2\beta z=\pi时ϕ−2βz=π时
∣Umin∣=∣U0+∣∣1−∣Γ∣∣|U_{min}|=|U^+_0||1-|\Gamma||∣Umin∣=∣U0+∣∣1−∣Γ∣∣可以看出,两个相邻电压最大值之间的距离是:[ϕ−2βz]−[ϕ−2β(z+l)]=2π[\phi -2\beta z]-[\phi-2\beta(z+l)]=2\pi[ϕ−2βz]−[ϕ−2β(z+l)]=2π即,2βl=2π2\beta l=2\pi2βl=2πl=πβ=π2πλ=λ2l=\frac{\pi}{\beta}=\frac{\pi}{\frac{2\pi}{\lambda}}=\frac{\lambda}{2}l=βπ=λ2ππ=2λ同理两个相邻最大值与最小值之间的距离也可以求得l=λ4l=\frac{\lambda}{4}l=4λ定义电压驻波比(VSWR)(VSWR )(VSWR)为传输线上最大电压与最小电压之比,即:
VSWR=∣Umax∣∣Umin∣=∣U0+∣∣1+∣Γ∣∣∣U0+∣∣1−∣Γ∣=1+∣Γ∣1−∣Γ∣VSWR=\frac{|U_{max}|}{|U_{min}|}=\frac{|U^+_0||1+|\Gamma||}{|U^+_0||1-|\Gamma|}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}VSWR=∣Umin∣∣Umax∣=∣U0+∣∣1−∣Γ∣∣U0+∣∣1+∣Γ∣∣=1−∣Γ∣1+∣Γ∣
也可以计算任意位置反射系数:
Γ(z)=U0−ejβzU0+e−jβz=ΓLe−2jβz=Γ(0)e−2jβz\Gamma (z)=\frac{U^-_0e^{j\beta z}}{U^+_0e^{-j\beta z}}=\Gamma _Le^{-2j\beta z}=\Gamma(0)e^{-2j\beta z}Γ(z)=U0+e−jβzU0−ejβz=ΓLe−2jβz=Γ(0)e−2jβz有时候需要计算输入端z=−lz=-lz=−l处的输入阻抗ZinZ_{in}Zin,由定义可知:Zin=U(−l)I(−l)=U0+(ejβl+Γe−jβl)U0+Z0(ejβl−Γe−jβl)=Z0ejβl+ZL−Z0ZL+Z0e−jβlejβl−ZL−Z0ZL+Z0e−jβlZ_{in}=\frac{U(-l)}{I(-l)}=\frac{U^+_0(e^{j\beta l}+\Gamma e^{-j\beta l})}{\frac{U^+_0}{Z_0}(e^{j\beta l}-\Gamma e^{-j\beta l})}=Z_0\frac{e^{j\beta l}+\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}e^{-j\beta l}}{e^{j\beta l}-\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}e^{-j\beta l}}Zin=I(−l)U(−l)=Z0U0+(ejβl−Γe−jβl)U0+(ejβl+Γe−jβl)=Z0ejβl−ZL+Z0ZL−Z0e−jβlejβl+ZL+Z0ZL−Z0e−jβl利用欧拉公式进一步整理,Zin=Z0ZLcosβl+jZ0sinβlZ0cosβl+jZLsinβl=Z0ZL+jZ0tanβlZ0+jZLtanβlZ_{in}=Z_0\frac{Z_Lcos\beta l+jZ_0sin\beta l}{Z_0cos\beta l+jZ_Lsin\beta l}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0tan\beta l}{Z_0+jZ_Ltan\beta l}Zin=Z0Z0cosβl+jZLsinβlZLcosβl+jZ0sinβl=Z0Z0+jZLtanβlZL+jZ0tanβl
∙\bullet∙总结
1)对于无耗传输线
电压:U(z)=U+e−jβz+U−ejβzU(z)=U^+e^{-j\beta z}+U^-e^{j\beta z}U(z)=U+e−jβz+U−ejβz

电流:I(z)=U+Z0e−jβz−U+Z0ejβzI(z)=\frac{U^+}{Z_0}e^{-j\beta z}-\frac{U^+}{Z_0}e^{j\beta z}I(z)=Z0U+e−jβz−Z0U+ejβz

特性阻抗:Z0=R+jwLγ=LCZ_0=\frac{R+jwL}{\gamma}=\sqrt\frac{{L}}{C}Z0=γR+jwL=CL

传播常数:γ=jβ=jwLC\gamma=j\beta=jw\sqrt{LC}γ=jβ=jwLC

波长:λ=2πβ\lambda=\frac{2\pi}{\beta}λ=β2π
波速:vp=wβ=1μϵv_p=\frac{w}{\beta}=\frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}}vp=βw=μϵ1,空气中波速vp=wβ=1μ0ϵ0=cv_p=\frac{w}{\beta}=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}=cvp=βw=μ0ϵ01=c
2)端接负载的无耗传输线:

电压:U(z)=U0+(e−jβz+Γejβz)U(z)=U^+_0(e^{-j\beta z}+\Gamma e^{j\beta z})U(z)=U0+(e−jβz+Γejβz)

电流:I(z)=U0+Z0(e−jβz−Γejβz)I(z)=\frac{U^+_0}{Z_0}(e^{-j\beta z}-\Gamma e^{j\beta z})I(z)=Z0U0+(e−jβz−Γejβz)

负载反射系数:Γ=ZL−Z0ZL+Z0\Gamma =\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}Γ=ZL+Z0ZL−Z0

负载阻抗:ZL=1+Γ1−ΓZ0Z_L =\frac{1+\Gamma }{1-\Gamma }Z_0ZL=1−Γ1+ΓZ0

传送到负载功率::Pav=12Re[U×I∗]=12∣U0+∣2Z0[1−∣Γ2∣]P_{av}=\frac {1}{2}Re[U\times I^*]=\frac{1}{2}\frac{|U^+_0|^2}{Z_0}[1-|\Gamma ^2|]Pav=21Re[U×I∗]=21Z0∣U0+∣2[1−∣Γ2∣]

回波损耗:RL=−20log∣Γ∣RL=-20log|\Gamma|RL=−20log∣Γ∣

传输线上最大电压:∣Umax∣=∣U0+∣∣1+∣Γ∣∣|U_{max}|=|U^+_0||1+|\Gamma||∣Umax∣=∣U0+∣∣1+∣Γ∣∣

传输线上最小电压:∣Umin∣=∣U0+∣∣1−∣Γ∣∣|U_{min}|=|U^+_0||1-|\Gamma||∣Umin∣=∣U0+∣∣1−∣Γ∣∣

电压驻波比:VSWR=∣Umax∣∣Umin∣=∣U0+∣∣1+∣Γ∣∣∣U0+∣∣1−∣Γ∣=1+∣Γ∣1−∣Γ∣VSWR=\frac{|U_{max}|}{|U_{min}|}=\frac{|U^+_0||1+|\Gamma||}{|U^+_0||1-|\Gamma|}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}VSWR=∣Umin∣∣Umax∣=∣U0+∣∣1−∣Γ∣∣U0+∣∣1+∣Γ∣∣=1−∣Γ∣1+∣Γ∣

任意位置的反射系数:Γ(z)=U0−ejβzU0+e−jβz=Γle−2jβz=Γ(0)e−2jβz\Gamma (z)=\frac{U^-_0e^{j\beta z}}{U^+_0e^{-j\beta z}}=\Gamma _le^{-2j\beta z}=\Gamma(0)e^{-2j\beta z}Γ(z)=U0+e−jβzU0−ejβz=Γle−2jβz=Γ(0)e−2jβz

传输线输入阻抗:Zin=Z0ZLcosβl+jZ0sinβlZ0cosβl+jZLsinβl=Z0ZL+jZ0tanβlZ0+jZLtanβlZ_{in}=Z_0\frac{Z_Lcos\beta l+jZ_0sin\beta l}{Z_0cos\beta l+jZ_Lsin\beta l}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0tan\beta l}{Z_0+jZ_Ltan\beta l}Zin=Z0Z0cosβl+jZLsinβlZLcosβl+jZ0sinβl=Z0Z0+jZLtanβlZL+jZ0tanβl

3):二分之一波长重复性,四分之一波长变换性;

参考《微波工程》第三版 David M.Pozar

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