一、前言

优化模型主要有线性规划、非线性规划、动态规划和整数规划。而指派问题是整数规划中一类重要的问题：
有nnn项任务，由nnn个人来完成，每个人只能做一件，第iii个人完成第jjj项任务要cijc_{ij}cij小时，如何合理安排时间才能使总用时最小？

二、指派问题的数学模型

我们引入 0 - 1变量 xijx_{ij}xij

xij={1,表示指派第i个人完成第j项工作0,表示不指派第i个人完成第j项工作x_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{表示指派第i个人完成第j项工作} \\ 0, & \text{表示不指派第i个人完成第j项工作} \end{cases} xij={1,0,表示指派第i个人完成第j项工作表示不指派第i个人完成第j项工作
用x_{ij}表示第i个人完成第j项工作所需要的资源数，称之为价值系数。因此指派问题的数学模型是:
minz=∑i=1n∑j=1ncijxijmin \ z = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nc_{ij} x_{ij} min z=i=1∑nj=1∑ncijxij

s.t={∑i=1nxij=1,i=1,2,⋅⋅⋅,n∑j=1nxij=1,j=1,2,⋅⋅⋅,nxij=0或1,i,j=1,2,⋅⋅⋅,ns.t = \begin{cases} \sum_{i=1}^n x_{ij}=1,\ \ \ \ \ i=1,2,···,n\\ \sum_{j=1}^n x_{ij}=1,\ \ \ \ \ j=1,2,···,n\\ x_{ij}=0或1,\ \ \ \ \ i,j = 1,2,···,n \end{cases} s.t=⎩⎪⎨⎪⎧∑i=1nxij=1, i=1,2,⋅⋅⋅,n∑j=1nxij=1, j=1,2,⋅⋅⋅,nxij=0或1, i,j=1,2,⋅⋅⋅,n

第一个式子表示完成全部n项工作所消耗的总资源数要最少；
第二个式子表示第i个人只完成一项工作；
第三个式子表示第j项工作只能由一个人完成；
第四个式子表示决策变量只能取0或者1。

指派问题可以看作0 - 1整数规划问题来求解，也可以用更简单的匈牙利算法来求解。

三、 0 - 1规划求解(Matlab)

我们先给出这样一个例题，图中数值为第i个人要完成第j个任务需要消耗的资源数xijx_{ij}xij，求解:如何安排才能使的总资源消耗最少。

编程思路：
根据规划问题的要求：
每个人只能完成一个任务，每个任务只能由一个人完成。也正如第三部分中的第二个式子和第三个式子，当该4x4矩阵表示xijx_{ij}xij，即指派第i个人完成第j个任务时，此时每一行相加的值和为1，每一列相加的值和为1。（xijx_{ij}xij的值只能为0或者1）根据该思路，我们可以来进行Matlab变成。

c=[2,15,13,4,10,4,14,15,9,14,16,13,7,8,11,9]';
Aeq=[1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1;1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0;0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0;0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0;0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1];
beq=[1;1;1;1;1;1;1;1];
lb=zeros(16,1);
ub=ones(16,1);
[x,fval] = linprog(c,[],[],Aeq,beq,lb,ub)
x=reshape(x,[4,4])'

其中Aeq和beq代表的是等式约束，Aeq的前四行分别表示 4x4的xijx_{ij}xij矩阵中四行中每行相加的值为1；Aeq的后四行分别表示4x4的xijx_{ij}xij矩阵找那个的四列中每列相加的值为1。（实际上它就是将4x4的矩阵按照行进行展开成了1x16的矩阵）。
然后再调用linprog()线性规划的函数，输入相应参数进行求解。求解所得的x是16x1的矩阵，我们为了便于观察，最后将该矩阵转换成4x4的矩阵。

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