这个微分方程可以很容易地解析求解：

dy/dt=0.01*y*(1-y)

重新排列以收集对侧的y和t项

100 dt=1/(y*(1-y))dy

lhs集成到100*t，rhs稍微复杂一些。我们总是可以把两个商的乘积写成两个商的和*一些常数：

1/(y*(1-y))=A/y+B/(1-y)

A和B的值可以通过将rhs放在同一分母上并比较两边的常数项和一阶y项来计算。这个例子很简单，A=B=1。因此我们必须整合

年1月1日

第一项积分到ln(y)，第二项可以积分变量u=1-y到-ln(1-y)。我们的积分方程如下：

100*t+C=ln(y)-ln(1-y)

不要忘了积分常数(这里写在lhs上很方便)。我们可以合并两个对数项：

100*t+C=ln(y/(1-y))

为了求出y的精确值t，我们首先需要求出C的值，我们使用初始条件。很明显，如果y从1开始，dy/dt=0，y的值永远不变。因此，在开头插入y和t的值

100*0+C=ln(y(0)/(1-y(0))

这将给出C的值(假设y不是0或1)，然后使用y=0.8得到t的值。注意，由于对数和系数100乘以t y，在t值的相对较短范围内将达到0.8，除非y的初始值非常小。当然，重新排列上面的方程，用t表示y，也很简单，然后你也可以画出这个函数。在

编辑：数值积分

对于无法解析求解的更复杂的ODE，您将不得不尝试数值计算。最初我们只知道函数在零时间y(0)的值(为了唯一地定义函数的轨迹，我们至少要知道这一点)，以及如何计算梯度。数值积分的思想是，我们可以利用梯度的知识(它告诉我们函数是如何变化的)来计算函数在我们的起点附近的值。最简单的方法是欧拉积分：

y(dt)=y(0)+dy/dt*dt

欧拉积分假定梯度在t=0和t=dt之间是常数。一旦y(dt)已知，梯度也可以在那里计算，然后用于计算y(2*dt)等，逐渐建立函数的完整轨迹。如果你正在寻找一个特定的目标值，只需等到轨迹超过该值，然后在最后两个位置之间插值以获得精确的t

欧拉积分(以及所有其他数值积分方法)的问题是，只有当其假设有效时，其结果才是准确的。由于时间点对之间的梯度不是恒定的，每个积分步骤都会产生一定量的误差，随着时间的推移，误差会逐渐增大，直到答案完全不准确为止。为了提高积分的质量，有必要使用更复杂的梯度近似。例如，看看Runge-Kutta方法，它是一个积分器家族，它以增加计算时间为代价，去除误差项的累进阶数。如果你的函数是可微的，知道二阶甚至三阶导数也可以用来减少积分误差。在

当然幸运的是，有人在这里做了艰苦的工作，你不必太担心解决诸如数值稳定性之类的问题，也不必对所有细节有深入的了解(尽管大致了解情况会有很大帮助)。检查一下http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.ode.html#scipy.integrate.ode的前任一个积分器类足够了，你应该可以直接使用它。例如from scipy.integrate import ode

def deriv(t, y):

return 0.01 * y * (1 - y)

my_integrator = ode(deriv)

my_integrator.set_initial_value(0.5)

t = 0.1 # start with a small value of time

while t < 3000:

y = my_integrator.integrate(t)

if y > 0.8:

print "y(%f) = %f" % (t, y)

break

t += 0.1

当y超过0.8时，此代码将打印出第一个t值(如果从未达到0.8，则不打印任何值)。如果您想要一个更精确的t值，那么也要保留前一个t的y，并在它们之间进行插值。在