1. 单相αβ-dq变换模块

(1) wt=0的情况

Simulink中单相αβ-dq模块时有两种变换矩阵的，这两种变换矩阵的相同点是，vq超前vd90度，不同点是wt=0的位置不一样。我们在αβ-dq变换中规定θ\thetaθ是wt=0滞后于vd的角度，也就是说以wt=0为基准，vd逆时针旋转θ\thetaθ。第一种变换矩阵由下图决定：

根据这个αβ-dq变换矩阵，可以确定vαv_αvα超前vβv_\betavβ 90度，否则vd和vq的直流量会为0，就只剩二倍于基频的交流量。可以假设vα=Vmcos(wt−ϕ)vβ=Vmsin(wt−ϕ)v_\alpha=Vmcos(wt-\phi) \\v_\beta=Vmsin(wt-\phi)vα=Vmcos(wt−ϕ)vβ=Vmsin(wt−ϕ) ，带入计算可知vd=Vmcosϕvq=−Vmsinϕv_d=Vmcos\phi\ \ \ \ \ \ v_q=-Vmsin\phivd=Vmcosϕ vq=−Vmsinϕ，显然可以推出vα=vdcoswt−vqsinwtv_\alpha=v_dcoswt-v_qsinwtvα=vdcoswt−vqsinwt，这个也就是整个系统的一般表达式，整体上思路就是仅仅和αβ-dq矩阵有关，一旦确定这个矩阵，也就确定了vαv_αvα和vdv_dvd和vqv_qvq关系。
特别注意，锁相环输出的应该是sinwt的相位，而不是输入信号的相位，就是说dq变换矩阵的wt是与输入信号无关的。

(2) wt=-90∘90^\circ90∘的情况

这种情况下，αβ-dq变换图和变换矩阵如下：

这种情况下依然是vαv_αvα超前vβv_\betavβ 90度，原因就不再赘述，最后推出 vα=vdsinwt+vqcoswtv_\alpha=v_dsinwt+v_qcoswtvα=vdsinwt+vqcoswt

2. 三相abc-dq变换模块

(1) wt=0的情况

将abc-dq分解成abc-αβ和αβ-dq的乘积，其中αβ-dq的变换已经在第一节中讨论了，而abc-αβ的变换矩阵时固定的，针对恒幅值状况，变换矩阵如下。
这种情况下，abc-dq的变换矩阵如下图所示。
如果考虑零序分量，即v0=(1/3)(va+vb+vc)，因此上式可以改编为：
注意：ab−αβab-\alpha\betaab−αβ变换在三相中，如果vabc是满足正常的120超前滞后关系，则va=vαv_a=v_\alphava=vα 而 vβv_\betavβ是滞后vαv_\alphavα 90度的。这个观念是非常非常重要的。而且这个变换与cos或者sin是无关的，均满足这个特性，只要是vabc是满足正常的120超前滞后关系。

(2) wt=-90∘90^\circ90∘的情况

由于abc-αβ的变换矩阵是一致的，因此仅考虑αβ-dq的不同，其变换矩阵如下：

其实这两种变换是可以归算到同一个坐标系中的，假设已知wt=0的情况时vd的表达式，由于vd超前wt=0的夹角是θ\thetaθ，而vq超前wt=0的夹角是θ+π2\theta+\frac{\pi}{2}θ+2π，带入vd表达式即可验证。重要的是wt=-90∘90^\circ90∘的情况，将这种坐标系下vd归算到wt=0的坐标系下的结果，vd超前于wt=0的夹角应该是θ−π2\theta-\frac{\pi}{2}θ−2π，可以带入进行验算，而此时的vq超前于wt=0的夹角应当是θ\thetaθ，这个思想是非常重要的，所有的情况全部折算到wt=0的坐标情况下，即可。

参考资料

4种派克(Park)变换、克拉克（Clark）变换与基于dq轴解耦的双闭环控制之间的关系(一)

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