约瑟夫环问题

N个人围成一圈顺序编号，从1号开始按1、2、3......顺序报数，报p者退出圈外，其余的人再从1、2、3开始报数，报p的人再退出圈外，以此类推。

请按退出顺序输出每个退出人的原序号

算法思想用数学归纳法递推。

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，若nm非常大，无法在短时间内计算出结果。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人(编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0

k+1   --> 1

k+2   --> 2

...

...

k-2   --> n-2

k-1   --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况——这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

实现方法

一、循环链表建立一个有N个元素的循环链表，然后从链表头开始遍历并计数，如果基数i == m，则踢出该元素，继续循环，直到当前元素与下一个元素相同时退出循环

#include

#include

#include

typedef struct lnode

{

int pos;

struct lnode *next;

} lnode;

/**

* 构建循环链表&&循环遍历

*/

void create_ring(lnode **root, int loc, int n)

{

lnode *pre, *current, *new;

current = *root;

pre = NULL;

while (current != NULL) {

pre = current;

current = current->next;

}

new = (lnode *)malloc(sizeof(lnode));

new->pos = loc;

new->next = current;

if (pre == NULL) {

*root = new;

} else {

pre->next = new;

}

// 循环链表

if (loc == n) {

new->next = *root;

}

}

/**

* 约瑟夫环

*/

void kickoff_ring(lnode *head, int p)

{

int i;

lnode *pre, *pcur;

pre = pcur = head;

while (pcur->next != pcur) {

for (i = 1; i < p; i ++) {

pre = pcur;

pcur = pcur->next;

}

printf("%d ", pcur->pos);

pre->next = pcur->next;

free(pcur);

pcur = pre->next;

}

printf("%d\n", pcur->pos);

free(pcur);

}

void print_ring(lnode *head)

{

lnode *cur;

cur = head;

while (cur->next != head) {

printf("%d ", cur->pos);

cur = cur->next;

}

printf("%d\n", cur->pos);

}

int main()

{

int i, p, n;

lnode *head;

while (scanf("%d %d", &n, &p) != EOF) {

// 构建循环链表

for (i = 1, head = NULL; i <= n; i ++)

create_ring(&head, i, n);

// 约瑟夫环

if (p != 1)

kickoff_ring(head, p);

else

print_ring(head);

}

return 0;

}

/**************************************************************

Problem: 1188

User: wangzhengyi

Language: C

Result: Accepted

Time:110 ms

Memory:912 kb

****************************************************************/

二、数组模拟思想跟循环链表类似，少了构建循环链表的过程

#include

#include

int main()

{

int i, index, p, n, remain, delete[3001], flag[3001] = {0};

while (scanf("%d %d", &n, &p) != EOF) {

remain = n;

index = 0;

while (remain >= 1) {

for (i = 0; i < n; i ++) {

if (flag[i] == 0) {

// 报数

index ++;

// 报p者退出圈外

if (index == p) {

// 退出圈外

flag[i] = 1;

// 重新报数

index = 0;

delete[remain - 1] = i + 1;

remain --;

}

}

}

}

// 输出每个退出人的序号

for (i = n - 1; i >= 0; i --) {

if (i == 0) {

printf("%d\n", delete[i]);

} else {

printf("%d ", delete[i]);

}

}

}

return 0;

}

三、数学推导

#include

int main(void)

{

int i, n, m, last;

while (scanf("%d", &n) != EOF && n != 0) {

// 接收报数

scanf("%d", &m);

// 约瑟夫环问题

for (i = 2, last = 0; i <= n; i ++) {

last = (last + m) % i;

}

printf("%d\n", last + 1);

}

return 0;

}