抽象代数学习笔记二《群：群的例子》

学习笔记参考：《近世代数初步》第2版高等教育出版社——石生明编著
注：本篇笔记根据博主个人数学的掌握情况整理

课后习题
1、平面取定坐标系 OxyOxyOxy ，则平面仿射（点）变换 φ:(x,y)T⟶(x′,y′)T\varphi:(x,y)^T\longrightarrow (x',y')^Tφ:(x,y)T⟶(x′,y′)T （这里 TTT 表示矩阵的转置，(x,y)T(x,y)^T(x,y)T 是一列的矩阵，即列向量）可写为：{x′=a11x+a12y+b1y′=a21x+a22y+b2\left\{ \begin{array}{c}x'=a_{11}x+a_{12}y+b_1 \\ y'=a_{21}x+a_{22}y+b_2 \end{array}\right.{x′=a11x+a12y+b1y′=a21x+a22y+b2 其中行列式：∣a11a12a21a22∣≠0\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} \neq 0∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣=0 证明平面上全体仿射变换对于变换的乘法成一个群，称为平面的仿射变换群。
2、平面上取定直角坐标系 OxyOxyOxy ，任意平面正交（点）变换 φ:(x,y)T⟶(x′,y′)T\varphi:(x,y)^T\longrightarrow (x',y')^Tφ:(x,y)T⟶(x′,y′)T 可写为：{x′=a11x+a12y+b1y′=a21x+a22y+b2\left\{ \begin{array}{c}x'=a_{11}x+a_{12}y+b_1 \\ y'=a_{21}x+a_{22}y+b_2 \end{array}\right.{x′=a11x+a12y+b1y′=a21x+a22y+b2 其中矩阵：(a11a12a21a22)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} (a11a21a12a22) 是正交矩阵。用这种表示式证明平面上全体正交变换对于变换的乘法成为一个群，它是平面的正交变换群。
3、设 GGG 是一个幺半群。若 GGG 的每个元 aaa 有右逆元，即有 b∈Gb\in Gb∈G ，使 ab=eab=eab=e ，则 GGG 是一个群。
4、设 GGG 是一个群。若 ∀\forall∀ a,b∈Ga,b \in Ga,b∈G 皆有 (ab)2=a2b2(ab)^2=a^2b^2(ab)2=a2b2 ，则 GGG 是交换群。
5、设 GGG 是非空的有限集合，GGG 上的乘法满足：∀\forall∀ a,b,c∈Ga,b,c \in Ga,b,c∈G 有：
（1）(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)
（2）ab=ac⇒b=cab=ac\Rightarrow b=cab=ac⇒b=c
（3）ac=bc⇒a=bac=bc\Rightarrow a=bac=bc⇒a=b
则 GGG 是群。
6、证明任一个群 GGG 不能是两个不等于 GGG 的子群的并集。
7、令：ρ=(123456654321)\rho=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}ρ=(162534435261) σ=(123456231564)\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 6 & 4 \\ \end{pmatrix}σ=(122331455664) τ=(123456621354)\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 2 & 1 & 3 & 5 & 4 \\ \end{pmatrix}τ=(162231435564) 计算 ρσ\rho\sigmaρσ，στ\sigma\tauστ，τρ\tau\rhoτρ，σ−1\sigma^{-1}σ−1，σρσ−1\sigma\rho\sigma^{-1}σρσ−1。
8、设：σ=(12⋯nσ(1)σ(2)⋯σ(n))\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ \end{pmatrix}σ=(1σ(1)2σ(2)⋯⋯nσ(n)) τ=(12⋯nτ(1)τ(2)⋯τ(n))\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \tau(1) & \tau(2) & \cdots & \tau(n) \\ \end{pmatrix}τ=(1τ(1)2τ(2)⋯⋯nτ(n)) 问：σ=(τ(1)τ(2)⋯τ(n)??⋯?)\sigma=\begin{pmatrix} \tau(1) & \tau(2) & \cdots & \tau(n) \\ ? & ? & \cdots & ? \\ \end{pmatrix}σ=(τ(1)?τ(2)?⋯⋯τ(n)?) τ−1=(??⋯?i1i2⋯in)\tau^{-1}=\begin{pmatrix} ? & ? & \cdots & ? \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \\ \end{pmatrix}τ−1=(?i1?i2⋯⋯?in) τστ−1=(σ(1)σ(2)⋯σ(n)??⋯?)(12⋯nσ(1)σ(2)⋯σ(n))(??⋯?12⋯n)=?\tau\sigma\tau^{-1}=\begin{pmatrix} \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ ? & ? & \cdots & ? \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} ? & ? & \cdots & ? \\ 1 & 2 & \cdots & n \\ \end{pmatrix}=?τστ−1=(σ(1)?σ(2)?⋯⋯σ(n)?)(1σ(1)2σ(2)⋯⋯nσ(n))(?1?2⋯⋯?n)=? 9、确定置换σ=(12⋯n−1nnn−1⋯21)\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\ n & n-1 & \cdots & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}σ=(1n2n−1⋯⋯n−12n1) 的奇偶性。
10、把 (147)(7810)(3109)(942)(356)(1\ 4\ 7)(7\ 8\ 10)(3\ 10\ 9)(9\ 4\ 2)(3\ 5\ 6)(1 4 7)(7 8 10)(3 10 9)(9 4 2)(3 5 6) 分解成不相交的轮换的乘积。

参考答案如下：

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