报童问题求解最大利润_矩问题和分布式鲁棒优化：由阿里数学竞赛题说开...

（一直没怎么关注阿里的那个数学竞赛。不过今天看到一些讨论：如何看待阿里巴巴全球数学竞赛第一轮题目?，然后发现了一个有趣的问题。

这个题事实上是运筹里面min-max报童模型(newsvendor model)的一个很经典的结果。这里主要是可以求出显式解的，所以可以用一个特例分析：我们这里先采用文章^[1]的经典分析。

一、题解：不限制非负支撑集的情形

我们简记

（就是个期望嘛），那么优化问题为

题目中

。这里的关键是要用这样一个引理：

引理：若

这个不等式是紧的。

证明：并不复杂，但更多是构造性的。首先，注意

，然后对绝对值这一项取期望并利用Cauchy-Schwarz不等式，

把这个式子带入到

就得到了要证的不等式。

至于为什么这个不等式是紧的，一个著名的结论就是对这种nesvendor cost，考虑

为一个两点分布就能取到最坏情况。具体来说，我们取一点的概率和取值为

另一点的概率和取值为

容易验证对这个分布，

当然注意这个时候分布可能会取到负值，因为题目并没有说

的取值范围，因此默认在

上（然后我写完这部分才注意到积分是从0积到无穷...那就更复杂点；后面补充）。如果有了个具体的取值范围（比如在某个闭区间里）这个就不一定紧了。

有了上述引理，我们就知道可以把优化问题里内部嵌套的max问题换成上面这个紧的上界，即我们的优化问题化为了：

到了这里就很简单了，即使没学过优化，注意到这个优化问题是凸的（最小化一个凸的目标函数+线性约束），工科微积分里就告诉我们这里可以用拉格朗日乘子法。即，我们将约束对偶化并考虑其拉格朗日函数：

这里

就是约束对应的拉格朗日乘子（取值非负）。只要计算

就得到

如果

，那么

不然取值是0。这里因为题设给了

然后对优化问题来说我们需要找到最小的非负的

满足上面的不等式。因此对题目来说：如果我们记

为了满足约束，我们需要不断从取值

开始减小

使得

二、衍生：矩问题、鲁棒优化

我们前面说了，这里的题目因为是具有特殊结构的，所以可以搞出显式解。而这类问题的关键就是内层对测度的优化问题。那么我们对于一个更加一般的矩问题（moment problem）：

应该如何求解呢？（注意当

就是题目里的报童问题）对于这个无穷维的优化问题，实际上可以转换成一个有限维的半正定规划（semidefinite program）去求解（具体比如见

^[2]，我这边不再赘述）。当然这个半正定规划虽然非常精巧，只是一般来说就没有显示解了（不过可以在多项式时间内求解）。

我们这里只考虑了1维的情形。如果对于一个高维的随机变量的moment problem，一般来讲是NP-hard的（如还是^[2]中，作者给了4维

和2维

的NP-hardness证明）。一般来讲，这类问题可以更广泛的看成所谓的分布式鲁棒优化（distributionally robust optimization）问题。

比如在一篇著名的文章^[3]中，作者证明了如果只考虑期望和方差（一阶矩和二阶矩），我们前面在题目里所考虑的一维问题的高维版，都可以化成一个有限维的二次锥规划问题（second-order cone program）求解。即我们考虑一个这样的推广版：

其中向量

是随机变量

的期望，矩阵

是

的协方差矩阵，标量

是可以调整的系数。文章

^[3]利用了这个优化问题的对偶问题的形式，便直接得到了SOCP的等价表达(事实上给的是SDP，但是^[4]指出实际上可以化成SOCP)。事实上，前面一部分里的对于报童模型的最优解也可以通过这个SOCP（一维情况下就是个二次优化问题）推导出来，这里留给感兴趣的同学思考（我想出题人应该默认的是前一部分的解法）。

鲁棒优化出发的思路其实是更适合推广的。我们前面已经指出，上一节的特例分析只对不加限制的

的取值成立，而利用了鲁棒优化的形式之后就可以很轻松的加入如

只能取值在一个半开区间或者闭区间上。

因为这道题其实限制了

非负，所以应该用这种解法，要改的就是内部的max问题。先给结论：最坏情况还是可以由一个两点分布刻画。考虑如下记号：

我们有

所以这里就是要分类讨论了，有一部分情况和前面没有非负支撑集是一样的。只是在

比较小的时候，最坏的两点分布是

概率取0，

概率取

。另一种情况的最坏分布就是前一节定义的。有了这个式子，前一节后面的拉格朗日乘子法优化步骤就是类似的，这里不多赘述了。

关于

的推导，主要要利用无穷维测度max问题的对偶可以写成一个有限维的二次优化问题

^[5]：（记

为三个moment约束的对偶变量）

这样我们就把问题变成了一个中学里关于抛物线的解析几何问题。容易知道，为了在正半轴上满足约束等价于左边的抛物线

要在右边的分段线性函数

的上方：这就可能分为两种情况，一种是

过原点，再和

在一点上相切；另一种就是

和

的两段上分别有一点相切。其它情况显然无法满足最优性条件。而这两种情况下，显然

（抛物线开口朝上），且

必然和

相切，所以我们也可以将

表达为：

第一种情况，我们有

（过原点）。那么

，得到

那么就知道

注意我们还需要

在原点的导数非负（原点右边都是递增的），这样才能保证抛物线在分段线性函数的上方。即

这样就有，

因此，如果

,我们知道可以取

，使得

。而如果这个条件不满足，我们就会看到第二种情况（

和

有两个切点）能给出更紧的值。

那么现在讨论第二种情况。两个切点情况下，第二个切点势必是顶点（和横轴相切），即

那么就有

和

这样就有

我们知道最小值在这个情况下取到：

带入

就得到

这就是第二种情况下最坏情况的上界，也是前一节用Cauchy-Schwarz公式得到的上界！

最后，容易看到

在两种情况下对于

是一个凸函数，并且在两段的交界处（当

）两个表达式都给到我们

参考

^Gallego, Guillermo, and Ilkyeong Moon. "The distribution free newsboy problem: review and extensions." Journal of the Operational Research Society 44.8 (1993): 825-834.
^^a^bBertsimas, Dimitris, and Ioana Popescu. "Optimal inequalities in probability theory: A convex optimization approach." SIAM Journal on Optimization 15.3 (2005): 780-804.
^^a^bDelage, Erick, and Yinyu Ye. "Distributionally robust optimization under moment uncertainty with application to data-driven problems." Operations research 58.3 (2010): 595-612.
^Natarajan, Karthik, Melvyn Sim, and Joline Uichanco. "Tractable robust expected utility and risk models for portfolio optimization." Mathematical Finance: An International Journal of Mathematics, Statistics and Financial Economics 20.4 (2010): 695-731.
^Bertsimas, Dimitris, and Ioana Popescu. "Optimal inequalities in probability theory: A convex optimization approach." SIAM Journal on Optimization 15.3 (2005): 780-804.