某车企笔试题解答（1）
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题目：
答：
1建立数学模型
2求解
题目：
一个简易吃豆人游戏，假设有一个m*n的棋盘（0<m, n<1000），棋盘格的坐标轴左上角是（0, 0），右下角是（m-1, n-1）。除了(0, 0)外，每个棋盘格上都放有一些豆子。吃豆人初始位置在(0, 0)，每次只能向右或向下行动一格，并吃掉该格上的豆子，现在需要求一条路线，使吃掉的豆子的总数最大。请写一个函数计算这条路线以及吃掉的豆子数量，要求计算速度尽可能快，并且给出算法的时间复杂度。如果有多条等价路线，任意给出一条即可。
答：
解答本题分如下两步：1建立数学模型；2求解。
1建立数学模型
将这个m*n的棋盘（左图）抽象为图论中的有向无环图（缩写为DAG，右图）。
棋盘中的每个格子对应有向无环图的一个顶点，指向该顶点的边的权重等于该顶点的豆子数（比如，指向棋盘格子b的边，权重等于b，以此类推）。由于吃豆人只能向右或者向下移动，所以水平方向的边只能从左向右，垂直方向的边只能从上到下，如上图所示。由于这个限制，导致从任何一点出发，不论采取何种路径，都不会回到出发点，所以这个图是无环图。
由于棋盘中的每个格子对应有向无环图的一个顶点，所以有向无环图的水平方向的顶点数等于棋盘水平方向的格子数m，而水平方向的边数比顶点数少1，所以是m-1；有向无环图的垂直方向的顶点数等于棋盘垂直方向的格子数n，所以有向无环图的垂直方向的顶点数是n,垂直方向的边数是n-1。顶点总数为m*n。而边总数为(m-1)*(n-1)。
搜索吃豆人吃豆最多路线的问题就变成了搜索DAG最长路径的问题。此类问题的复杂度是O(边数+顶点数),故为O(m*n)
2求解
Longest Path in a Directed Acyclic Graph - GeeksforGeeks提供了示例代码解决此类问题。在此示例基础上略作修改，考虑如下棋盘，其格子中的数字代表格子内豆子数目：
根据前面的分析，数学模型对应一个顶点数为4 * 3= 12的DAG。
采用如下代码求解：
// A C++ program to find single source longest distances// in a DAG#include <iostream>#include <limits.h>#include <list>#include <stack>#define NINF INT_MINusing namespace std;// Graph is represented using adjacency list. Every// node of adjacency list contains vertex number of// the vertex to which edge connects. It also// contains weight of the edgeclass AdjListNode {int v;int weight;public:AdjListNode(int _v, int _w){v = _v;weight = _w;}int getV() { return v; }int getWeight() { return weight; }};// Class to represent a graph using adjacency list// representationclass Graph {int V; // No. of vertices'// Pointer to an array containing adjacency listslist<AdjListNode>* adj;list<int> * pPath;// A function used by longestPathvoid topologicalSortUtil(int v, bool visited[],stack<int>& Stack);public:Graph(int V); // Constructor~Graph(); // Destructor// function to add an edge to graphvoid addEdge(int u, int v, int weight);// Finds longest distances from given source vertexvoid longestPath(int s);};Graph::Graph(int V) // Constructor{this->V = V;adj = new list<AdjListNode>[V];pPath = new list<int>[V];}Graph::~Graph() // Destructor{delete[] adj;delete[] pPath;}void Graph::addEdge(int u, int v, int weight){AdjListNode node(v, weight);adj[u].push_back(node); // Add v to u's list}// A recursive function used by longestPath. See below// link for details// https:// www.geeksforgeeks.org/topological-sorting/void Graph::topologicalSortUtil(int v, bool visited[],stack<int>& Stack){// Mark the current node as visitedvisited[v] = true;// Recur for all the vertices adjacent to this vertexlist<AdjListNode>::iterator i;for (i = adj[v].begin(); i != adj[v].end(); ++i) {AdjListNode node = *i;if (!visited[node.getV()])topologicalSortUtil(node.getV(), visited, Stack);}// Push current vertex to stack which stores topological// sortStack.push(v);}// The function to find longest distances from a given vertex.// It uses recursive topologicalSortUtil() to get topological// sorting.void Graph::longestPath(int s){stack<int> Stack;int * dist = new int[V];// Mark all the vertices as not visitedbool* visited = new bool[V];for (int i = 0; i < V; i++)visited[i] = false;// Call the recursive helper function to store Topological// Sort starting from all vertices one by onefor (int i = 0; i < V; i++)if (visited[i] == false)topologicalSortUtil(i, visited, Stack);// Initialize distances to all vertices as infinite and// distance to source as 0for (int i = 0; i < V; i++){pPath[s].clear();dist[i] = NINF;}dist[s] = 0;pPath[s].push_back(s);// Process vertices in topological orderwhile (Stack.empty() == false) {// Get the next vertex from topological orderint u = Stack.top();Stack.pop();// Update distances of all adjacent verticeslist<AdjListNode>::iterator i;if (dist[u] != NINF) {for (i = adj[u].begin(); i != adj[u].end(); ++i){if (dist[i->getV()] < dist[u] + i->getWeight()){//更新与u相连的各个顶点到s的距离dist[i->getV()] = dist[u] + i->getWeight();//更新具体路径pPath[i->getV()].assign(pPath[u].begin(), pPath[u].end());pPath[i->getV()].push_back(i->getV());} }}}// Print the calculated longest distancesfor (int i = 0; i < V; i++){cout << "length: ";(dist[i] == NINF) ? cout << "unReachable" : cout << dist[i];cout<< endl;cout << "path: ";for (const auto & item : pPath[i]){cout << item << " ";}cout << endl;}delete [] visited;delete [] dist;delete [] pPath;}// Driver program to test above functionsint main(){// Create a graph given in the above diagram.Graph g(12);g.addEdge(0, 1, 1);g.addEdge(0, 4, 3);g.addEdge(1, 2, 2);g.addEdge(1, 5, 5);g.addEdge(2, 3, 4);g.addEdge(2, 6, 1);//g.addEdge(3, 4, 0);//3号顶点处于棋盘最右g.addEdge(3, 7, 2);g.addEdge(4, 5, 5);g.addEdge(4, 8, 1);g.addEdge(5, 6, 1);g.addEdge(5, 9, 1);g.addEdge(6, 7, 2);g.addEdge(6, 10, 3);//g.addEdge(7, 8, 0);//7号顶点处于棋盘最右，不能再向右了g.addEdge(7, 11, 2);g.addEdge(8, 9, 1);//g.addEdge(8, 8, 1);g.addEdge(9, 10, 3);//g.addEdge(9, 9, 1);g.addEdge(10, 11, 2);//g.addEdge(10, 10, 3);//g.addEdge(11, 8, 0);//11号顶点处于棋盘最右，不能再向右了//g.addEdge(11, 11, 2); //11号顶点处于棋盘最下int s = 0;cout << "Following are longest distances from ""source vertex "<< s << " \n";g.longestPath(s);cin.get();return 0;}在上面的问题中，采用0-11标记棋盘的格子：
结果：
可见，最长路径是0-4-5-9-10-11，长度为14
算法的时间复杂度为O(顶点数+边数)。这里也就是O(m*n)
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