Chapter7：非线性控制系统分析

基于胡寿松主编的《自动控制原理》(第七版)附录的MATLAB控制系统简单教程，可直接阅读教材附录，内容完全一样，没有大改动。

7.非线性控制系统分析

微分方程高阶数值解法

命令格式：[t,x]=ode45('fun',t,x0)
参数说明：
fun：调用函数；
t：设定的仿真时间；
x0：系统的初始状态；

实例分析：非线性系统的稳定性分析

ExampleB-8： 设系统如下图所示，分别用描述函数法和相平面法判断系统的稳定性，并画出c(0)=−3,c˙(0)=0c(0)=-3,\dot{c}(0)=0c(0)=−3,c˙(0)=0，的相轨迹和相应的时间响应曲线；

解：

【描述函数法】

非线性环节的描述函数为：
N(A)=2π[arcsin⁡2A+2A1−(2A)2]，A≥2N(A)=\frac{2}{\pi}\left[\arcsin\frac{2}{A}+\frac{2}{A}\sqrt{1-\left(\frac{2}{A}\right)^2}\right]，A≥2 N(A)=π2⎣⎡arcsinA2+A21−(A2)2⎦⎤，A≥2
在复平面内分别绘制线性环节的ΓG\Gamma_GΓG曲线和负倒描述函数−1/N(A)-1/N(A)−1/N(A)曲线，由于G(s)G(s)G(s)为线性环节：
G(s)=−1N(A)G(s)=-\frac{1}{N(A)} G(s)=−N(A)1
利用频域奈氏判据可知，若ΓG\Gamma_GΓG曲线不包围−1/N(A)-1/N(A)−1/N(A)曲线，则非线性系统稳定；反之，则非线性系统不稳定；
```
% exampleB_8a.m
G=zpk([],[0 -1],1);     % 建立线性环节模型；
nyquist(G);hold on      % 绘制线性环节奈奎斯特曲线ΓG，图形保持；
A=2:0.01:60;            % 设定非线性环节输入信号振幅范围；% 计算负倒描述函数实部和虚部；
x=real(-1./((2*(asin(2./A)+(2./A).*sqrt(1-(2./A).^2)))/pi+j*0));
y=imag(-1./((2*(asin(2./A)+(2./A).*sqrt(1-(2./A).^2)))/pi+j*0));plot(x,y);              % 绘制非线性环节的负倒描述函数；
axis([-1.5 0 -1 1]);hold off    % 重新设置图形坐标，取消图形保持；
```

图中ΓG\Gamma_GΓG曲线不包围−1/N(A)-1/N(A)−1/N(A)曲线，根据非线性稳定判据，该非线性系统稳定；

【相平面法】

描述该系统的微分方程为：
c¨+c˙={2,c<−2−c,∣c∣<2−2,c>2\ddot{c}+\dot{c}= \begin{cases} 2,&c<-2\\ -c,& |c|<2\\ -2,& c>2 \end{cases} c¨+c˙=⎩⎨⎧2,−c,−2,c<−2∣c∣<2c>2
在相平面上精确绘制c−c˙c-\dot{c}c−c˙曲线，需要先确定上述系统微分方程在一定初始条件下的解，进而通过分析相轨迹的运动形式，直观地判断非线性系统的稳定性；

% exampleB_8b.m
t=0:0.01:30;        % 设定仿真时间30s；
c0=[-3 0]';         % 给定初始条件；
[t,c]=ode45('fun',t,c0);    % 求解初始条件下的系统微分方程；figure(1)
plot(c(:,1),c(:,2));grid    % 绘制相平面图，c(:,1)为c(t)值，c(:,2)为导数值；figure(2)
plot(t,c(:,1));grid;        % 绘制系统时间响应曲线；
xlabel('t(s)');ylabel('c(t)');

% fun.m
function dc=fun(t,c)    % 描述系统的微分方程
dc1=c(2);               % c1表示c(t),c(2)表示c(t)一阶导，d表示一阶导数；
if(c(1)<-2)dc2=2-c(2);
elseif(abs(c(1))<2)dc2=-c(1)-c(2);
elsedc2=-2-c(2);
end
dc=[dc1 dc2]';

由上图可知，系统振荡收敛，系统的奇点为稳定焦点；
3. 自动控制原理理论基础参考链接

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