关于微积分学的基本定理

回顾历史，1908年，微积分（当时称为“微积学”）传入中国，当初国内只有几个人知晓微积分。解放之后，尤其是在1956年提出“向科学进军”之后，国内掀起全面学习苏联的风潮。当时，苏联学者菲赫金哥尔茨撰写的《微积分学教程》（三卷9本，叶彦谦译）风行全国，培养出一大批我国新一代数学工作者。我自己也算是那个美好时代的“产物”。

作为普通高等学校“十一五”国家级规划教材的“的典范：《高等数学》（同济大学）和《数学分析》（复旦大学），都继承了菲氏《微积分学教程》的衣钵（或理论体系），一脉相承。对于微积分学核心内容的取舍有些偏颇，比如，把牛顿-莱布尼兹最初创立的微积分学基本定理（Theorem）有意淡化，仅称其”微积分学基本公式“或”牛顿-莱布尼兹公式“(Fomula)。定理与公式的重要性当然不同。

1960年，德国数学家A.Robinson创立”非标准分析“，理论严谨地恢复了微积分学的历史原貌，从此，微积分学基本定理的称谓（或说法）又历史性地出现了。这个定理集中体现、高度浓缩了微积分学的精华（或核心），提高了人们对微积分学的认识水平。

1976年，美国J.Keisler撰写的《基础微积分》教材就反映了这一历史性的变迁。在该教材的袖珍电子书第4.2节（取名为”微积分学基本定理”），今天与大家见面了。这是一个具有历史性的时刻，值得我们怀念。（注：请搜索关键词“第4.2节微积分学基本定理”即可。）

微积分学基本定理的陈述如下：

FUNDAMENTALTHEOREM OF CALCULUS

Suppose f is continuous on its domain, which is an open interval I.

（i)For each point a in I, the definite integral of f from a to x considered as a function of x is an antiderivative（反导数）of f. That is

If F is any antiderivative of f, then for any two points (a, b) in I the definite integral of f from a to b is equal to the difference F(b) – F (a),

微积分学基本定理说明了什么呢？J.Keisler指出：“The Fundamental Theorem of Calculus is important for two reasons. First,it shows the relation between the two main notions of Calculus: the derivative, which corresponds to velocity, and the integral, which corresponds to area. It shows that differentiation and integrationare “inverse” processes. Second, it gives a simple method for computing many definite integrals.”意思是说，该基本定理说明了微分法与积分法是两个“互逆”过程，而且给出了定积分的简易计算方法。

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