Frobenius companion matrix

对于任意一个首项为1的多项式 f(x)=xn+an−1xn−1+⋯+a0,f(x)=xn+an−1xn−1+⋯+a0,f(x) = x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_0,
=∑ni=0aixi,(n≥1,an=1)=∑i=0naixi,(n≥1,an=1)= \sum _{i = 0} ^{n} a_i x^i, (n \ge 1, a_n = 1)
定义 fff 的 Frobenius companion matrix 为：
C(f)=(00⋯0−a010⋯0−a101⋯0−a2⋮⋮⋱⋮⋮00⋯1−an−1)" role="presentation" style="position: relative;">C(f)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜010⋮0001⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮1−a0−a1−a2⋮−an−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟C(f)=(00⋯0−a010⋯0−a101⋯0−a2⋮⋮⋱⋮⋮00⋯1−an−1)C(f) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{0} \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{1} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n - 1} \end{pmatrix}

性质

|λI−C(f)|=∣∣∣∣∣∣∣∣λ−10⋮00λ−1⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮−1a0a1a2⋮λ+an−1∣∣∣∣∣∣∣∣=f(λ)|λI−C(f)|=|λ0⋯0a0−1λ⋯0a10−1⋯0a2⋮⋮⋱⋮⋮00⋯−1λ+an−1|=f(λ)\left \vert \lambda I - C(f) \right \vert = \begin{vmatrix} \lambda & 0 & \cdots & 0 & a_{0} \\ -1 & \lambda & \cdots & 0 & a_{1} \\ 0 & -1 & \cdots & 0 & a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda + a_{n - 1} \end{vmatrix} = f(\lambda)

证明

n=1n=1n = 1 时 |λI−C(f)|=λ+a0,|λI−C(f)|=λ+a0,\left \vert \lambda I - C(f) \right \vert = \lambda+ a_0, 等式成立。
n>1n>1n > 1 时：
|λI−C(f)|=∣∣∣∣∣∣∣∣λ−10⋮00λ−1⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮−1a0a1a2⋮λ+an−1∣∣∣∣∣∣∣∣|λI−C(f)|=|λ0⋯0a0−1λ⋯0a10−1⋯0a2⋮⋮⋱⋮⋮00⋯−1λ+an−1|\left \vert \lambda I - C(f) \right \vert = \begin{vmatrix} \lambda & 0 & \cdots & 0 & a_{0} \\ -1 & \lambda & \cdots & 0 & a_{1} \\ 0 & -1 & \cdots & 0 & a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda + a_{n - 1} \end{vmatrix}
=======r1←∑ni=1λi−1ri∣∣∣∣∣∣∣∣0−10⋮00λ−1⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮−1λn+∑ni=1ai−1λi−1a1a2⋮λ+an−1∣∣∣∣∣∣∣∣=======r1←∑i=1nλi−1ri|00⋯0λn+∑i=1nai−1λi−1−1λ⋯0a10−1⋯0a2⋮⋮⋱⋮⋮00⋯−1λ+an−1|\overset{r_1 \gets \sum _{i = 1} ^{n} \lambda^{i - 1} r_i }{=\mathrel{\mkern-3mu}=\mathrel{\mkern-3mu}=\mathrel{\mkern-3mu}=\mathrel{\mkern-3mu}=\mathrel{\mkern-3mu}=\mathrel{\mkern-3mu}=} \begin{vmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda^n + \sum _{i = 1} ^{n} a_{i - 1} \lambda^{i - 1} \\ -1 & \lambda & \cdots & 0 & a_{1} \\ 0 & -1 & \cdots & 0 & a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda + a_{n - 1} \end{vmatrix}
=λn+∑ni=1ai−1λi−1=λn+∑i=1nai−1λi−1= \lambda^n + \sum _{i = 1} ^{n} a_{i - 1} \lambda^{i - 1}
=f(λ)=f(λ)= f(\lambda)

Frobenius companion matrix相关推荐

matlab实例 pdf,matlab65实例教程(含语句注释).pdf
matlab65实例教程(含语句注释).pdf 1 2. 基础准备及入门基础准备及入门 2.1 MATLAB 5.x 版对外部系统的要求版对外部系统的要求 2.2 MATLAB 的安装的安装 2.3 ...
【CV】相对位姿估计的进展和新方法
文稿整理者:小萝卜审稿&修改:赵季博士本文总结自12月4日赵季博士关于[相对位姿估计的进展和新方法]公开课. 位姿估计是多视图几何的重要方向.赵博士在公开课第一部分首先概述了位姿估计的背景 ...
delphi dll是否可用var参数_时间序列之向量自回归（VAR）学习重点
综合整理自:百度文库等向量自回归介绍: 当我们对变量是否真是外生变量的情况不自信时,传递函数分析的自然扩展就是均等地对待每一个变量.在双变量情况下,我们可以令{yt}的时间路径受序列{zt}的当期或 ...
java多项式和_在Java中查找多项式的根
小编典典请找到以下相同的示例示例 public class PolynomialRootFinder { /** * * Given a set of polynomial coefficients ...
Paying More Attention to Self-attention: Improving Pre-trained Language Models via Attention Guiding
更加关注自注意力:通过注意力引导改进预训练语言模型 Shanshan Wang Shandong University Qingdao, China wangshanshan5678@gmail.co ...
奇异矩阵能lu分解条件_矩阵分析-期末复习笔记（上）
(复习笔记,可能有点乱.夹杂着乱七八糟的英文,因为要用英文考试.) (如果有误请一定要和我说!祝我final考个好成绩-) 目录: 特征值,特征向量,相似 (Eigenvalues, eigenvec ...
7.2 Cyclic Decompositions and the Rational Form
这一节的内容不长但是证明很难.核心目的是证明VVV可以成为有限个cyclic space的直和.首先介绍了TTT-admissible的定义,是一个比invariant更强的定义,其能够保证多项式运算 ...
多视图几何 | 相对位姿估计的经典回顾和最新进展！
编辑 | 深蓝AI 点击下方卡片,关注"自动驾驶之心"公众号 ADAS巨卷干货,即可获取点击进入→自动驾驶之心[全栈算法]技术交流群后台回复[相机标定]获取超详细的单目双目相机 ...
P3P相机姿态估计数学推导,求解及自定义实现
P3P相机姿态估计数学推导,求解及自定义实现微信公众号:幼儿园的学霸目录文章目录 P3P相机姿态估计数学推导,求解及自定义实现目录前言相机到空间点距离求解角度θ的计算相机坐标系下的坐标 ...
shiftdim matlab,科学网—matlab函数（矩阵相关） - 黄妮妮的博文
matlab函数(矩阵相关) functions frequently used in matlab in respect of matrix Elementary matrices. zeros ...

Frobenius companion matrix

Frobenius companion matrix

性质

证明

Frobenius companion matrix相关推荐

最新文章

热门文章